Cho tam giác ABC (AB < AC), nội tiếp đường tròn đường kính BC, có đường cao AH (H thuộc cạnh
Cho tam giác ABC (AB < AC), nội tiếp đường tròn đường kính BC, có đường cao AH (H thuộc cạnh BC), đường phân giác của góc A trong tam giác ABC cắt đường tròn đó tại K (K khác A). Biết \(\frac{{AH}}{{HK}} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\). Tính \(\widehat {ACB}\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Đặt \(HK = x \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {15} }}{5}x\).
+) Tính các cạnh BH, CH theo x.
+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC: \(A{H^2} = BH.CH\), giải phương trình tìm x.
+) Khi tìm được x, tính AH, CH và tính \(\tan \widehat {ACB}\).
Gọi đường tròn đường kính BC có bán kính bằng \(R\).
Đặt \(HK = x \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {15} }}{5}x\).
Do AK là tia phân giác của \(\widehat {BAC} \Rightarrow \widehat {BAK} = \widehat {CAK}\)
\( \Rightarrow K\) là điểm chính giữa cung BC (hai góc nội tiếp bằng nhau
chắn hai cùng bằng nhau)
\( \Rightarrow OK \bot BC\).
Xét tam giác vuông \(OHK\) có \(OH = \sqrt {H{K^2} - O{K^2}} = \sqrt {{x^2} - {R^2}} \)
\( \Rightarrow BH = BO - OH = R - \sqrt {{x^2} - {R^2}} ;\,\,CH = R + \sqrt {{x^2} - {R^2}} \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = BH.CH\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{5}x} \right)^2} = \left( {R - \sqrt {{x^2} - {R^2}} } \right)\left( {R + \sqrt {{x^2} - {R^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{3{x^2}}}{5} = {R^2} - \left( {{x^2} - {R^2}} \right) \Leftrightarrow \frac{3}{5}{x^2} = 2{R^2} - {x^2}\\ \Leftrightarrow \frac{8}{5}{x^2} = 2{R^2} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 5 }}{2}R\\ \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt {15} }}{5}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R;\,\,CH = R + \sqrt {{x^2} - {R^2}} = R + \sqrt {\frac{5}{4}{R^2} - {R^2}} = \frac{{3R}}{2}\end{array}\)
Xét tam giác vuông AHC có \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}R}}{{\frac{3}{2}R}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ACB} = {30^0}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
