Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1\,+t \\ & y=2-t \\

Câu hỏi số 263376:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1\,+t \\ & y=2-t \\ & z=t \\\end{align} \right.,\) \({d}':\left\{ \begin{align} & x=2{t}' \\ & y=1+{t}' \\ & z=2+{t}' \\\end{align} \right..\) Đường thẳng \(\Delta \) cắt \(d,\,\,{d}'\) lần lượt tại các điểm \(A,\,\,B\) thỏa mãn độ dài đoạn thẳng \(AB\) nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là

A. \(\frac{x}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{-3}.\)

B. \(\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}.\)

C. \(\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{3}.\)

D. \(\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{3}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263376

Phương pháp giải

Đoạn thẳng AB nhỏ nhất khi AB chính là độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’

Giải chi tiết

Để \(AB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow \,\,AB\) là đoạn vuông góc chung của \(d,\,\,{d}'.\)

Gọi \(A\in d\Rightarrow \,\,A\left( 1+a;2-a;a \right)\) và \(B\in {d}'\Rightarrow \,\,B\left( 2b;1+b;2+b \right)\)\(\Rightarrow \)\(\overrightarrow{AB}=\left( 2b-a-1;a+b-1;b-a+2 \right).\)

Vì

\(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot d\\
AB \bot d'
\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_d} = 0\\
\overrightarrow {AB} .{{\vec u}_{d'}} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
2b - a - 1 - a - b + 1 + b - a + 2 = 0\\
2\left( {2b - a - 1} \right) + a + b - 1 + b - a + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
- \,3a + 2b + 2 = 0\\
- \,2a + 6b - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = \frac{1}{2}
\end{array} \right..\)

Vậy \(A\left( 2;1;1 \right),\,\,B\left( 1;\frac{3}{2};\frac{5}{2} \right)\Rightarrow \,\,\overrightarrow{AB}=\left( -\,1;\frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)=-\,\frac{1}{2}\left( 2;-\,1;-\,3 \right)\Rightarrow \,\,\left( AB \right):\frac{x-2}{-\,2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.