Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\). Giá trị

Câu hỏi số 263732:

Vận dụng cao

Cho x, y là các số thực thỏa mãn \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1}}{{x + 2y + 1}}\) là :

A. \(2\sqrt 3 \)

B. \(\sqrt 3 \)

C. \(\frac{{114}}{{11}}\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263732

Phương pháp giải

Từ phương trình \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\) thế \(6x + 2y = {x^2} + {y^2} + 5\) vào P.

Phân tích tử theo mẫu và rút gọn.

Đặt ẩn phụ. Sử dụng các bất đẳng thức Buniacopxki để tìm điều kiện của ẩn phụ và sử dụng BĐT Cauchy để đánh giá GTNN của P.

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có \({x^2} - 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1 = 5 \Leftrightarrow 6x + 2y = {x^2} + {y^2} + 5\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{3{y^2} + 4xy + 7x + 4y - 1}}{{x + 2y + 1}} = \frac{{3{y^2} + 4xy + 6x + 2y + x + 2y - 1}}{{x + 2y + 1}}\\P = \frac{{{x^2} + 4{y^2} + 4xy + x + 2y + 4}}{{x + 2y + 1}} = \frac{{x\left( {x + 2y + 1} \right) + 2y\left( {x + 2y + 1} \right) + 4}}{{x + 2y + 1}}\\P = x + 2y + \frac{4}{{x + 2y + 1}}\end{array}\)

Đặt \(y = x + 2y \Rightarrow P = t + \frac{4}{{t + 1}}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có : \({\left[ {\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 1} \right)} \right]^2} \le \left( {{1^2} + {2^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right] = 25\)

\( \Rightarrow - 5 \le \left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 1} \right) \le 5 \Leftrightarrow \Rightarrow - 5 \le x + 2y - 5 \le 5 \Leftrightarrow 0 \le t \le 10\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(t + 1 + \frac{4}{{t + 1}} \ge 4 \Leftrightarrow P \ge 3\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow t + 1 = \frac{4}{{t + 1}} \Leftrightarrow t = 1\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{17}}{5}\\y = - \frac{6}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.