Cho số phức z thỏa điều kiện \(\left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 263733:

Vận dụng cao

Cho số phức z thỏa điều kiện \(\left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z - 3 - 4i} \right| + \left| {z - 5 - 6i} \right|\)

được viết dưới dạng \(\left( {a + b\sqrt {17} } \right)/\sqrt 2 \) với a, b là các hữu tỉ. Giá trị của \(a + b\) là:

A. 4

B. 2

C. 7

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263733

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in R} \right)\). Từ giả thiết \(\left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2i} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {x + yi + 2} \right| = \left| {x + yi + 2i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \Leftrightarrow x = y \Leftrightarrow z = x + xi\\ \Rightarrow P = \left| {x + xi - 1 - 2i} \right| + \left| {x + xi - 3 - 4i} \right| + \left| {x + xi - 5 - 6i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 4} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 6} \right)}^2}} \end{array}\)

Sử dụng BĐT \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}\). Ta có :

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 6} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + {{\left( {6 - x} \right)}^2}} \\ \ge \sqrt {{{\left( {x - 1 + 6 - x} \right)}^2} + {{\left( {x - 2 + 5 - x} \right)}^2}} = \sqrt {34} \end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{6 - x}} = \frac{{x - 2}}{{5 - x}} \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}\).

Mặt khác \(\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 4} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} - 14x + 25} = \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - \frac{7}{2}} \right)}^2} + \frac{1}{4}} \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = \frac{7}{2}\).

Từ đó ta thấy \({P_{\min }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \sqrt {34} = \frac{{1 + 2\sqrt {17} }}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow a = 1,\,\,b = 2 \Rightarrow a + b = 3\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.