Cho các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| z-5+3i \right|=3,\,\,\,\left| iw+4+2i \right|=2\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| 3iz+2w \right|.\)

A. \(\sqrt {554} + 5\)

B. \(\sqrt{578}+13\)

C. \(\sqrt{578}+5\)

D. \(\sqrt{554}+13\)

Câu hỏi : 263803

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đưa về khoảng cách giữa hai điểm thuộc các đường tròn biểu diễn các số phức và biện luận vị trí điểm để biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3iz\\v = - \,2w\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{u}{{3i}}\\w = - \frac{v}{2}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 5 + 3i} \right| = 3\\\left| {iw + 4 + 2i} \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\frac{u}{{3i}} - 5 + 3i} \right| = 3\\\left| { - \frac{{iv}}{2} + 4 + 2i} \right| = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\frac{{u - 9 - 15i}}{{3i}}} \right| = 3\\\left| {\frac{{iv - 8 - 4i}}{2}} \right| = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {u - 9 - 15i} \right| = 9\\\left| {iv - 8 - 4i} \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {u - 9 - 15i} \right| = 9\\\left| {v - 4 + 8i} \right| = 4\end{array} \right.\).

Do đó, tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(u\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-9 \right)}^{2}}+{{\left( y-15 \right)}^{2}}=81.\)

Tập hợp điểm \(N\) biểu diễn số phức \(v\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+8 \right)}^{2}}=16.\)

Xét \(\left( {{C}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}\left( 9;15 \right),\) bán kính \({R_1} = 9;\) \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {4; - \,8} \right),\) bán kính \({{R}_{2}}=4.\)

Dễ thấy \(\left( {{C}_{1}} \right),\,\,\left( {{C}_{2}} \right)\) không cắt nhau \(\Rightarrow \,\,\left| u-v \right|=MN\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \,\,MN = {I_1}{I_2} + {R_1} + {R_2} = \sqrt {554} + 13.\)

Vậy \(T=\left| 3iz+2w \right|\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt{554}+13.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.