Cho các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| z-5+3i \right|=3,\,\,\,\left| iw+4+2i \right|=2\). Tìm giá trị

Câu hỏi số 263803:

Vận dụng cao

A. \(\sqrt {554} + 5\)

B. \(\sqrt{578}+13\)

C. \(\sqrt{578}+5\)

D. \(\sqrt{554}+13\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263803

Phương pháp giải

Đưa về khoảng cách giữa hai điểm thuộc các đường tròn biểu diễn các số phức và biện luận vị trí điểm để biểu thức đạt giá trị lớn nhất

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 3iz\\v = - \,2w\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \frac{u}{{3i}}\\w = - \frac{v}{2}\end{array} \right.\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 5 + 3i} \right| = 3\\\left| {iw + 4 + 2i} \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\frac{u}{{3i}} - 5 + 3i} \right| = 3\\\left| { - \frac{{iv}}{2} + 4 + 2i} \right| = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\frac{{u - 9 - 15i}}{{3i}}} \right| = 3\\\left| {\frac{{iv - 8 - 4i}}{2}} \right| = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {u - 9 - 15i} \right| = 9\\\left| {iv - 8 - 4i} \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {u - 9 - 15i} \right| = 9\\\left| {v - 4 + 8i} \right| = 4\end{array} \right.\).

Do đó, tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(u\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x-9 \right)}^{2}}+{{\left( y-15 \right)}^{2}}=81.\)

Tập hợp điểm \(N\) biểu diễn số phức \(v\) thuộc đường tròn \(\left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y+8 \right)}^{2}}=16.\)

Xét \(\left( {{C}_{1}} \right)\) có tâm \({{I}_{1}}\left( 9;15 \right),\) bán kính \({R_1} = 9;\) \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {4; - \,8} \right),\) bán kính \({{R}_{2}}=4.\)

Dễ thấy \(\left( {{C}_{1}} \right),\,\,\left( {{C}_{2}} \right)\) không cắt nhau \(\Rightarrow \,\,\left| u-v \right|=MN\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \,\,MN = {I_1}{I_2} + {R_1} + {R_2} = \sqrt {554} + 13.\)

Vậy \(T=\left| 3iz+2w \right|\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt{554}+13.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.