Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), cạnh
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), cạnh \(BC=a\sqrt{6}\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối đa diện \(AB'CA'C'.\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz để xác định chiều cao của hình lăng trụ đứng qua dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng (công thức tính cosin góc giữa hai mặt phẳng)
Đặt \(A{A}'=x\) và chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) với \(A\left( 0;0;0 \right),\,\,{A}'\left( 0;0;x \right)\)
Và \(B\left( \sqrt{3};0;0 \right),\,\,C\left( 0;\sqrt{3};0 \right)\) vì \(AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{3}\) (chuẩn hóa \(a=1\)).
\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align} {B}'\left( \sqrt{3};0;x \right) \\ {C}'\left( 0;\sqrt{3};x \right) \\ \end{align} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} = \left( {\sqrt 3 ;0;x} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\vec n_1} = \left[ {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {AC} } \right] =\left( { - x\sqrt 3 ;0;3} \right)\)
Và \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BB'} = \left( {0;0;x} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 ;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\vec n_2} = \left[ {\overrightarrow {BB'} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - x\sqrt 3 ; - x\sqrt 3 ;0} \right)\).
Do đó \(\cos \widehat {\left( {AB'C} \right);\left( {BCC'B'} \right)} = \frac{{\left| {{{\vec n}_1}.{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {3{x^2} + 9} .\sqrt {6{x^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \sqrt 3 .\)
Diện tích \(\Delta \,ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{A{{B}^{2}}}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{{V}_{A{B}'C{A}'{C}'}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{2}{3}A{A}'.{{S}_{\Delta \,ABC}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
