Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), cạnh \(BC=a\sqrt{6}\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối đa diện \(AB'CA'C'.\)

Câu 263808: Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), cạnh \(BC=a\sqrt{6}\). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối đa diện \(AB'CA'C'.\)

\(\sqrt 3 {a^3}\)

B. \(\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}\)

D. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}\)

Câu hỏi : 263808

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz để xác định chiều cao của hình lăng trụ đứng qua dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng (công thức tính cosin góc giữa hai mặt phẳng)

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Đặt \(A{A}'=x\) và chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) với \(A\left( 0;0;0 \right),\,\,{A}'\left( 0;0;x \right)\)

Và \(B\left( \sqrt{3};0;0 \right),\,\,C\left( 0;\sqrt{3};0 \right)\) vì \(AB=AC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{3}\) (chuẩn hóa \(a=1\)).

\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{align} {B}'\left( \sqrt{3};0;x \right) \\ {C}'\left( 0;\sqrt{3};x \right) \\ \end{align} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB'} = \left( {\sqrt 3 ;0;x} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\vec n_1} = \left[ {\overrightarrow {AB'} ;\overrightarrow {AC} } \right] =\left( { - x\sqrt 3 ;0;3} \right)\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BB'} = \left( {0;0;x} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 ;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\vec n_2} = \left[ {\overrightarrow {BB'} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - x\sqrt 3 ; - x\sqrt 3 ;0} \right)\).

Do đó \(\cos \widehat {\left( {AB'C} \right);\left( {BCC'B'} \right)} = \frac{{\left| {{{\vec n}_1}.{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{3{x^2}}}{{\sqrt {3{x^2} + 9} .\sqrt {6{x^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 3} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \sqrt 3 .\)

Diện tích \(\Delta \,ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{A{{B}^{2}}}{2}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{{V}_{A{B}'C{A}'{C}'}}=\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{2}{3}A{A}'.{{S}_{\Delta \,ABC}}={{a}^{3}}\sqrt{3}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.