Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính \(R=3cm\). Các tiếp
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính \(R=3cm\). Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại D.
1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.
2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết \(OD=5cm\). Tính diện tích của tam giác BCD.
3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh \(AB.AP=AQ.AC\)
4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
1) Chứng minh tứ giác OBDC có tổng giác hai góc đối bằng 1800
2) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
3) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác AQP.
4) Chứng minh các tam giác DBP và DCQ cân tại D, từ đó suy ra D là trung điểm của PQ.
Chứng minh tam giác \(\Delta AMC\backsim \Delta ADP\,\,\left( c.g.c \right)\), từ đó suy ra đpcm.
1) Chứng minh tứ giác OBDC nội tiếp đường tròn.
Do DB, DC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) \(\Rightarrow \widehat{OBD}=\widehat{OCD}={{90}^{0}}\)
Xét tứ giác OBDC có \(\widehat{OBD}+\widehat{OCD}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\Rightarrow \) tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800)
2) Gọi M là giao điểm của BC và OD. Biết \(OD=5cm\). Tính diện tích của tam giác BCD.
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OBD có \(BD=\sqrt{O{{D}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4\,\,\left( cm \right)\)
Ta có \(OB=OC=R;\,\,DB=DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\(\Rightarrow O;\,\,D\) thuộc trung trực của BC \(\Rightarrow OD\) là trung trực của BC \(\Rightarrow OD\bot BC\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBD có:
\(DM.DO=D{{B}^{2}}\Rightarrow DM=\frac{D{{B}^{2}}}{DO}=\frac{{{4}^{2}}}{5}=\frac{16}{5}\,\,\left( cm \right)\)
\(BM.OD=OB.BD\Rightarrow BM=\frac{OB.BD}{OD}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}\,\,\left( cm \right)\)
Vậy \({{S}_{\Delta DBC}}=\frac{1}{2}DM.BC=DM.BM=\frac{16}{5}.\frac{12}{5}=\frac{192}{25}=7,68\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)\).
3) Kẻ đường thẳng d đi qua D và song song với đường tiếp tuyến với (O) tại A, d cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh \(AB.AP=AQ.AC\)
Ta có \(\widehat{APQ}=\widehat{xAB}\) ( 2 góc so le trong do đường thẳng Ax // PQ)
Mà \(\widehat{xAB}=\widehat{ACB}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB của (O)).
\(\Rightarrow \widehat{APQ}=\widehat{ACB}\)
Xét tam giác ABC và tam giác AQP có:
\(\widehat{PAQ}\) chung;
\(\widehat{APQ}=\widehat{ACB}\,\,\left( \,cmt \right)\)
\(\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta AQP\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{AQ}=\frac{AC}{AP}\Rightarrow AB.AP=AC.AQ\)
4) Chứng minh góc PAD bằng góc MAC.
Kéo dài BD cắt D tại F.
Ta có \(\widehat{DBP}=\widehat{ABF}\) (đối đỉnh)
Mà \(\widehat{ABF}=\widehat{ACB}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)
\(\widehat{ACB}=\widehat{APD}\) (do \(\Delta ABC\backsim \Delta AQP\))
\(\Rightarrow \widehat{DBP}=\widehat{APD}=\widehat{BPD}\Rightarrow \Delta DBP\) cân tại D \(\Rightarrow DB=DP\)
Tương tự kéo dài DC cắt d tại G, ta chứng minh được \(\widehat{DCQ}=\widehat{ACG}=\widehat{ABC}=\widehat{DQC}\Rightarrow \Delta DCQ\) cân tại D \(\Rightarrow DC=DQ\)
Lại có \(DB=DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \(\Rightarrow DP=DQ\Rightarrow D\) là trung điểm của PQ.
Ta có: \(\Delta ABC\backsim \Delta AQP\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \frac{AB}{AQ}=\frac{AC}{AP}=\frac{BC}{PQ}=\frac{2MC}{2PD}\Rightarrow \frac{AC}{AP}=\frac{MC}{PD}\)
Xét tam giác \(AMC\) và tam giác \(ADP\) có
\(\widehat{ACM}=\widehat{APD}\,\,\left( \widehat{ACB}=\widehat{APQ}\,\,\left( cmt \right) \right)\)
\(\frac{AC}{AP}=\frac{MC}{PD}\,\,\left( cmt \right)\)
\(\Rightarrow \Delta AMC\backsim \Delta ADP\,\,\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{PAD}=\widehat{MAC}\,\,\left( dpcm \right)\).
Đáp án cần chọn là: B
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
