Cho \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}+x

Câu hỏi số 265105:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}+x \right){{\text{e}}^{x}}}{x+{{\text{e}}^{-x}}}\text{d}x}=a.\text{e}+b\ln \left( \text{e}+c \right)\) với \(a\), \(b\), \(c\in \mathbb{Z}\). Tính \(P=a+2b-c\).

A. \(P=-1\)

B. \(P=1\)

C. \(P=-2\)

D. \(P=0\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265105

Phương pháp giải

Đổi biến số đưa về tích phân hàm phân thức cơ bản bằng cách đặt \(t=x{{e}^{x}}+1\)

Giải chi tiết

Ta có \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( {{x}^{2}}+x \right){{\text{e}}^{x}}}{x+{{\text{e}}^{-x}}}\text{d}x}\)\(=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( x+1 \right){{\text{e}}^{x}}x{{\text{e}}^{x}}}{x{{\text{e}}^{x}}+1}\text{d}x}\). Đặt \(t=x{{\text{e}}^{x}}+1\) \(\Rightarrow \)\(\text{d}t=\left( 1+x \right){{\text{e}}^{x}}\text{d}x\).

Đổi cận: \(x=0\Rightarrow t=1\); \(x=1\Rightarrow t=\text{e}+1\).

Khi đó \(I=\int\limits_{1}^{\text{e}+1}{\frac{t-1}{t}\text{d}t}\)\(=\int\limits_{1}^{\text{e}+1}{\left( 1-\frac{1}{t} \right)\text{d}t}\)\(=\left( t-\ln \left| t \right| \right)\left| \begin{matrix} \text{e}+1 \\ 1 \\\end{matrix} \right.\)\(=\text{e}-\ln \left( \text{e}+1 \right)\).

Suy ra \(a=1\), \(b=-1\), \(c=1\). Vậy \(P=a+2b-c=-2\).

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.