Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AC=2a\), tam giác \(SAB\) và tam
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AC=2a\), tam giác \(SAB\) và tam giác \(SCB\) lần lượt vuông tại \(A\), \(C\). Khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng \(2a\). Côsin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SCB \right)\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gắn hệ trục tạ độ hoặc dựng hình xác định góc giữa hai mặt phẳng
Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ sao cho \(B\left( 0;0;0 \right)\), \(A\left( a\sqrt{2};0;0 \right)\), \(C\left( 0;a\sqrt{2};0 \right)\), \(S\left( x;y;z \right)\).
Ta có \(\left( ABC \right):z=0\), \(\overrightarrow{AS}=\left( x-a\sqrt{2};y;z \right)\), \(\overrightarrow{CS}=\left( x;y-a\sqrt{2};z \right)\)
Do \(\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=0\)\(\Rightarrow \left( x-a\sqrt{2} \right)a\sqrt{2}=0\)\(\Rightarrow x=a\sqrt{2}\), \(d\left( S,\left( ABC \right) \right)=2a\)\(\Rightarrow z=2a\) \(\left( z>0 \right)\)
Và \(\overrightarrow{CS}.\overrightarrow{CB}=0\)\(\Rightarrow \left( y-a\sqrt{2} \right)a\sqrt{2}=0\)\(\Rightarrow y=a\sqrt{2}\)\(\Rightarrow S\left( a\sqrt{2};a\sqrt{2};2a \right)\).
Lại có \(\overrightarrow{AS}=\left( 0;a\sqrt{2};2a \right)\), \(\overrightarrow{CS}=\left( a\sqrt{2};0;2a \right)\), \(\overrightarrow{BS}=\left( a\sqrt{2};a\sqrt{2};2a \right)\).
Mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) có 1 vtpt \(\vec{n}=\left( -\sqrt{2};0;1 \right)\), \(\left( SAB \right)\) có 1 vtpt \(\vec{m}=\left( 0;\sqrt{2};-1 \right)\)\(\Rightarrow \cos \varphi \)\(=\frac{1}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}\)\(=\frac{1}{3}\).
Cách 2: Gọi \(D\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mp\(\left( ABC \right)\).
Ta có \(\left. \begin{align} & AB\bot SA \\& AB\bot SD \\\end{align} \right\}\Rightarrow AB\bot AD\), tương tự: \(BC\bot CD\). Vậy \(ABCD\) là hình vuông.
Gọi \(H\), \(K\) lân lượt là hình chiếu của \(D\) trên \(SA\), \(SC\).
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SCB \right)\) là góc giữa hai đường thẳng
\(DH\) và \(DK\).
Tính được \(DH=DK=\frac{2a}{\sqrt{3}}\); \(\frac{SH}{SA}=\frac{S{{D}^{2}}}{S{{A}^{2}}}=\frac{2}{3}\) \(\Rightarrow HK=\frac{2}{3}AC=\frac{4a}{3}\) .
Tứ đó suy ra \(\cos \widehat{HDK}=\frac{H{{D}^{2}}+K{{D}^{2}}-H{{K}^{2}}}{2HD.KD}=\frac{1}{3}\).
Chọn A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
