Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động và thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị

Câu hỏi số 265143:

Vận dụng

Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động và thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị \(y=\frac{2x-1}{x+2}\). Khi đó khoảng cách \(AB\( bé nhất là?

A. \(2\sqrt{5}\)

\(\sqrt{10}\) \(\sqrt{5}\) \(2\sqrt{10}\)

C. \(\sqrt{5}\)

D. \(2\sqrt{10}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265143

Phương pháp giải

Gọi tọa độ hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số, tìm độ dài AB và áp dụng bất đẳng thức AM – GM tìm khoảng cách AB bé nhất

Giải chi tiết

Vì \(A\), \(B\) thuộc hai nhánh của đồ thị \(y=\frac{2x-1}{x+2}\) nên \(A\left( a;2-\frac{5}{a+2} \right)\), \(B\left( b;2-\frac{5}{b+2} \right)\) với \(a>-2\), \(b<-2\)

Khi đó \(A{{B}^{2}}={{\left( a-b \right)}^{2}}.\left[ 1+\frac{25}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}{{\left( b+2 \right)}^{2}}} \right]={{\left[ \left( a+2 \right)+\left( -b-2 \right) \right]}^{2}}.\left[ 1+\frac{25}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}{{\left( -b-2 \right)}^{2}}} \right]\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có \({{\left[ \left( a+2 \right)+\left( -b-2 \right) \right]}^{2}}\ge 4\left( a+2 \right)\left( -b-2 \right)\) \(\left( 1 \right)\)

\(1+\frac{25}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}.{{\left( -\,b-2 \right)}^{2}}}\ge \frac{10}{\left( a+2 \right)\left( -\,b-2 \right)}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)suy ra \(A{{B}^{2}}\ge 40\) \(\Rightarrow AB\ge 2\sqrt{10}\)

Dấu \(''=''\) xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}
a + 2 = - 2 - b\\
1 = \frac{{25}}{{{{\left( {a + 2} \right)}^2}{{\left( { - 2 - b} \right)}^2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt 5 - 2\\
b = - 2 - \sqrt 5
\end{array} \right.\)

. Vậy \(A{{B}_{\min }}=2\sqrt{10}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.