Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết \(f(1)=6\) và \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}\). Kết luận nào sau đây là đúng?

Câu 265146: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết \(f(1)=6\) và \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}\). Kết luận nào sau đây là đúng?

Phương trình \(g\left( x \right)=0\) có đúng hai nghiệm thuộc \(\left[ -3;3 \right]\).

Phương trình \(g\left( x \right)=0\) có đúng một nghiệm thuộc \(\left[ -3;3 \right]\).

Phương trình \(g\left( x \right)=0\) không có nghiệm thuộc \(\left[ -3;3 \right]\).

D. Phương trình \(g\left( x \right)=0\) có đúng ba nghiệm thuộc \(\left[ -3;3 \right]\).

Câu hỏi : 265146

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Lập bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) thông qua đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) và so sánh các giá trị trên bảng biến thiên bằng ứng dụng tích phân để tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Hình vẽ tham khảo

Ta có: \(g\left( x \right)=f\left( x \right)-\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2}\)\(\Rightarrow {g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right)\)

Vẽ đường thẳng \(y=x+1\) trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) (như hình vẽ bên).

Từ đồ thị ta thấy: \({g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right)>0\), \(\forall x\in \left( -3;1 \right)\) (do đường cong nằm phía trên đường thẳng), \({g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right)<0\), \(\forall x\in \left( 1;3 \right)\) (do đường cong nằm phía dưới đường thẳng).

Ta có: \(g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-\frac{{{\left( 1+1 \right)}^{2}}}{2}\)\(=6-2=4\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào đồ thị ta thấy: diện tích \({{S}_{1}}\) lớn hơn \(4\) (trong phần bên trái có nhiều hơn 4 ô, mỗi ô có diện tích bằng \(1\)), do đó: \(4<{{S}_{1}}=\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)\text{d}x}\)\(\Leftrightarrow 4<\left. g\left( x \right) \right|_{-3}^{1}\) \(\Leftrightarrow 4<g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)\)\(\Leftrightarrow g\left( -3 \right)<0\).

Mặt khác: diện tích nhỏ hơn \(4\) (trong phần bên phải có ít hơn \(4\) ô), do đó:

\(4>{{S}_{2}}=-\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)\text{d}x}\)\(\Leftrightarrow 4>-\left. g\left( x \right) \right|_{1}^{3}\) \(\Leftrightarrow 4>g\left( 1 \right)-g\left( 3 \right)\)\(\Leftrightarrow g\left( 3 \right)>0\).

Vậy phương trình \(g\left( x \right)=0\) có đúng một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -3;3 \right]\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.