Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y=\frac{1}{1+\sin 2x}\) với \(\forall x\in

Câu hỏi số 265155:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y=\frac{1}{1+\sin 2x}\) với \(\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{-\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\), biết \(F\left( 0 \right)=1\); \(F(\pi )=0\). Tính \(P=F\left( -\frac{\pi }{12} \right)-F\left( \frac{11\pi }{12} \right)\).

A. \(P=2-\sqrt{3}\).

B. \(P=0\).

C. Không tồn tại \(P\).

D. \(P=1\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265155

Phương pháp giải

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) hoặc áp dụng tích phân tích biểu thức cần tìm

Giải chi tiết

Ta có \(P=F\left( \frac{-\pi }{12} \right)-F\left( \frac{11\pi }{12} \right)=-\left[ F\left( 0 \right)-F\left( -\frac{\pi }{12} \right) \right]+\left[ F\left( \pi \right)-F\left( \frac{11\pi }{12} \right) \right]+F\left( 0 \right)-F\left( \pi \right)\)

\(=-\int\limits_{-\frac{\pi }{12}}^{0}{\frac{1}{1+\sin 2x}\text{d}x}+\int\limits_{\frac{11\pi }{12}}^{\pi }{\frac{1}{1+\sin 2x}\text{d}x}+1\).

Ta có \(\frac{1}{1+\sin 2x}=\frac{1}{{{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}}=\frac{1}{2{{\cos }^{2}}\left( x-\frac{\pi }{4} \right)}\) nên\(\int\limits_{-\frac{\pi }{12}}^{0}{\frac{1}{1+\sin 2x}\text{d}x}=\left. \frac{1}{2}\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right|_{-\frac{\pi }{12}}^{0}=\frac{1}{2}\left( -1+\sqrt{3} \right)\);

Và \(\int\limits_{\frac{11\pi }{12}}^{\pi }{\frac{1}{1+\sin 2x}\text{d}x}=\left. \frac{1}{2}\tan \left( x-\frac{\pi }{4} \right) \right|_{\frac{11\pi }{12}}^{\pi }=\frac{1}{2}\left( -1+\sqrt{3} \right)\). Vậy \(P=1\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.