Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a, AB = b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,

Câu hỏi số 265258:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a, AB = b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Qua điểm M dựng đường thẳng cắt đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD tại điểm P và cắt đường thẳng BC tại điểm Q sao cho B nằm giữa C và Q.

1. Khi MP ⊥ AC, hãy:

a) Tính PQ theo a và b

b) Chứng minh a.BP = b.PN

2. Chứng minh góc MNP = góc MNQ (không nhất thiết MP và AC vuông góc với nhau).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265258

Giải chi tiết

1. MP ⊥ AC

a) ∆ PQC vuông tại \(Q\Rightarrow \widehat{PQC}={{90}^{0}}-\widehat{PCQ}.\)

∆ ABC vuông tại \(B\Rightarrow \widehat{BAC}={{90}^{0}}-\widehat{ACB}={{90}^{0}}-\widehat{PCQ}.\)

\(\Rightarrow \widehat{PQC}=\widehat{BAC}\ \ \left( ={{90}^{0}}-\widehat{PCQ} \right).\)

Xét ∆ ABC và ∆ QPC có:

\(\begin{align} & \widehat{PQC}=\widehat{BAC}\ \ \left( cmt \right) \\ & \widehat{ABC}=\widehat{QPC}={{90}^{0}} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta QPC\text{ }\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{QC}\Rightarrow PQ=\frac{AB.QC}{AC}.\) (1)

∆ ABC vuông tại B nên theo định lý Pitago ta có:

\(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

Xét ∆ ABC và ∆ QBM có:

\(\begin{align} & \widehat{MQB}=\widehat{BAC}\ \ \left( cmt \right) \\ & \widehat{ABC}=\widehat{QBM}={{90}^{0}} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta QBM\ \left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{QB}=\frac{BC}{BM}\Rightarrow QB=\frac{AB.BM}{BC}=\frac{AB.\frac{AB}{2}}{BC}=\frac{b.\frac{b}{2}}{a}=\frac{{{b}^{2}}}{2a}\) (vì M là trung điểm AB)

Vì B nằm giữa Q và C nên \(QC=QB+BC=\frac{{{b}^{2}}}{2a}+a=\frac{{{b}^{2}}+2{{a}^{2}}}{2a}\)

Do đó từ \(\left( 1 \right)\Rightarrow PQ=\frac{b.\frac{{{b}^{2}}+2{{a}^{2}}}{2a}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}=\frac{{{b}^{3}}+2{{a}^{2}}b}{2a\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

b) Tứ giác MPCB có tổng hai góc đối nhau: \(\widehat{MPC}+\widehat{MBC}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\) nên nó là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow \widehat{PBC}=\widehat{PMC}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung PC) (2)

Ta có MB = NC và MB // NC nên MBCN là hình bình hành, mặt khác tứ giác MBCN có \(\widehat{MBC}={{90}^{0}}\) nên nó là hình chữ nhật \(\Rightarrow \widehat{MNC}={{90}^{0}}\)

Tứ giác MPNC có \(\widehat{MPC}=\widehat{MNC}={{90}^{0}}\) nên 2 đỉnh P và N cùng nhìn cạnh MC dưới một góc bằng nhau

\(\Rightarrow MPNC\) là tứ giác nội tiếp.

\(\Rightarrow \widehat{PNC}+\widehat{PMC}={{180}^{0}}.\) (3)

Từ (2) và (3)\(\Rightarrow \widehat{PBC}+\widehat{PNC}={{180}^{0}}\Rightarrow \) Tứ giác BPNC là tứ giác nội tiếp (có 2 góc đối bù nhau)

\(\Rightarrow \widehat{BPN}={{180}^{0}}-\widehat{BCN}={{90}^{0}}\) và \(\widehat{PNB}=\widehat{PCB}.\)

Xét ∆ ABC và ∆ BPN có:

\(\begin{align} & \widehat{ABC}=\widehat{BPN}={{90}^{0}}\ \ \ \left( cmt \right) \\ & \widehat{ACB}=\widehat{PNB}\ \ \ \left( cmt \right) \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta PBN\text{ }\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{BP}=\frac{BC}{PN}\Rightarrow a.BP=b.PN\)

2. MP không nhất thiết vuông góc AC

Gọi E là giao của PN và AD, F là giao điểm của MP và AD

Ta có AMCN và MBND là các hình bình hành nên AC và BD cùng đi qua trung điểm của MN

Gọi O là giao của AC, BD và MN ⇒ O là trung điểm của MN

Áp dụng định lý Talét:

Vì MO // AF (cùng vuông góc CD) nên \(\frac{MO}{AF}=\frac{OP}{PA}\)

Vì ON // EA nên \(\frac{ON}{EA}=\frac{OP}{PA}\)

Mà OM = ON nên EA = AF

Mặt khác vì AF // BQ nên \(\frac{AF}{QB}=\frac{AM}{MB}=1\Rightarrow AF=QB\Rightarrow EA=QB\)

Xét ∆ EAM và ∆ QBM có:

\(\begin{array}{l}
EA = QB\;\;\left( {cmt} \right)\\
\widehat {EAM} = \widehat {QBM} = {90^{0\;\;}}\\
AM = BM\;\;\left( {gt} \right)\\
\Rightarrow \Delta EAM = \Delta QBM\;\;\left( {c - g - c} \right).\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
EM = QM\\
\widehat {EMA} = \widehat {QMB}.
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \widehat {EMN} = \widehat {QMN}\;\left( { = {{90}^0} + \widehat {EMA}} \right).
\end{array}\)

Xét ∆ EMN và ∆ QMN có:

\(\begin{align} & EM=QM\ \ \left( gt \right) \\ & \widehat{EMN}=\widehat{QMN}\ \ \left( cmt \right) \\ & MN\ \ chung \\ & \Rightarrow \Delta EMN=\Delta QMN\ \left( c-g-c \right). \\ & \Rightarrow \widehat{PNM}=\widehat{QNM}\ \ \ \left( dpcm \right). \\\end{align}\)

⇒ ∆ EMN = ∆ QMN (c.g.c)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link