Cho phương trình \({{x}^{3}}-x-1=0\). Giả sử x0 là một nghiệm của phương trình đã cho. 1. Chứng

Câu hỏi số 265257:

Vận dụng

Cho phương trình \({{x}^{3}}-x-1=0\). Giả sử x₀ là một nghiệm của phương trình đã cho.

1. Chứng minh \({{x}_{0}}>0\)

2. Tính giá trị của biểu thức \(M=\frac{x_{0}^{2}-1}{x_{0}^{3}}\sqrt{2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2}\)

A. \(M=4\)

B. \(M=3\)

C. \(M=2\)

D. \(M=1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265257

Phương pháp giải

1. Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( a;b \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right)<0\) thì phương trình \(f\left( x \right)=0\) có ít nhất 1 nghiệm \({{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\)

2. \(x_{0}^{3}-{{x}_{0}}-1=0\Leftrightarrow x_{0}^{3}={{x}_{0}}+1\), sử dụng các hằng đẳng thức \({{X}^{2}}-1=\left( X+1 \right)\left( X-1 \right)\) và \(\left| X \right|=\sqrt{{{X}^{2}}}\)

Giải chi tiết

1. Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-x-1\) liên tục trên R ta có \(\left\{ \begin{align} & f\left( 1 \right)={{1}^{3}}-1-1=-1<0 \\ & f\left( 2 \right)={{2}^{3}}-2-1=5>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)<0\Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 1 ít nhất 1 nghiệm \({{x}_{0}}\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}>0\).

Cách 2:

\({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-x-1=0\Rightarrow x_{0}^{3}-{{x}_{0}}=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}\left( x_{0}^{2}-1 \right)=1\) hay \(x_{0}^{3}={{x}_{0}}+1.\)

+) Khi \({{x}_{0}}=0\Leftrightarrow 0=1\) (vô lý).

+) Khi \({{x}_{0}}<0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x_{0}^{2}<1\Leftrightarrow -1<{{x}_{0}}<1 \\ & {{x}_{0}}+1<0\Leftrightarrow {{x}_{0}}<-1 \\ \end{align} \right.\) (vô lý).

\(\Rightarrow {{x}_{0}}>0\ \ \left( dpcm \right).\)

2. Do \({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-x-1=0\) nên \(x_{0}^{3}-{{x}_{0}}-1=0\Leftrightarrow x_{0}^{3}={{x}_{0}}+1\)

\(\begin{align} & \Rightarrow M=\frac{x_{0}^{2}-1}{{{x}_{0}}+1}\sqrt{2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2}=\left( {{x}_{0}}-1 \right)\sqrt{2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2} \\ & Do\,\,{{x}_{0}}\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}-1>0 \\ & \Rightarrow M=\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}\left( 2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2 \right)}\, \\ & \Rightarrow M=\sqrt{\left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1 \right)\left( 2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2 \right)} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2x_{0}^{4}+3x_{0}^{3}+2x_{0}^{2}-4x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2x_{0}^{4}-x_{0}^{3}-2x_{0}^{2}-{{x}_{0}}+2} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}-x_{0}^{3}+{{x}_{0}}+1+1} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2{{x}_{0}}\left( x_{0}^{3}{{x}_{0}}-1 \right)-\left( x_{0}^{3}-{{x}_{0}}-1 \right)+1} \\ & \Rightarrow M=\sqrt{2{{x}_{0}}.0-0+1}=1 \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link