Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Dựng tiếp tuyến Ax (Ax và nửa đường tròn cùng

Câu hỏi số 266314:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Dựng tiếp tuyến Ax (Ax và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB). C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (C không trùng A và B), dựng tiếp tuyến Cy của nửa đường tròn (O) cắt Ax tại D. Kẻ CH vuông góc với AB \(\left( H\in AB \right)\), BD cắt (O) tại điểm thứ hai K và cắt CH tại M. Gọi J là giao điểm của OD và AC.

a) Chứng minh rằng tứ giác AKMH nội tiếp được một đường tròn.

b) Chứng minh rằng tứ giác CKJM nội tiếp được một đường tròn (O₁).

c) Chứng minh DJ là tiếp tuyến của đường tròn (O₁).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266314

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác AKHM có tổng hai góc đối bằng 180⁰

b) Chứng minh tứ giác AJKD là tứ giác nội tiếp.

c) Xác định O₁, chứng minh \(DJ\bot {{O}_{1}}J\)

Giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat{AKB}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác AKMH có \(\widehat{AKM}+\widehat{AHM}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\)

Suy ra tứ giác AKHM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Ta có \(OA=OC;\,DA=DC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow OD\) là trung trực của AC \(\Rightarrow OD\bot AC\Rightarrow \widehat{AJD}={{90}^{0}}\)

Lại có \(\widehat{AKB}={{90}^{0}}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow AK\bot BD\Rightarrow \widehat{AKD}={{90}^{0}}\)

Tứ giác AJKD có hai đỉnh J và K cùng nhìn cạnh AD dưới góc 90⁰ nên là tứ giác ngoại tiếp đường tròn đường kính AD (Dấu hiệu nhận biết)

\(\Rightarrow \widehat{MKJ}=\widehat{DAJ}\) (cùng bù với góc DKJ)

Lại có \(AD//CH\) (cùng vuông góc với AB) \(\Rightarrow \widehat{DAJ}=\widehat{JCM}\) (so le trong)

\(\Rightarrow \widehat{MKJ}=\widehat{JCM}\Rightarrow \) Tứ giác CKJM nội tiếp được đường tròn tâm O₁ (dấu hiệu nhận biết)

\(\Rightarrow \widehat{KMJ}=\widehat{KCJ}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KJ).

Mà \(\widehat{KCJ}=\widehat{KCA}=\widehat{KBA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK của đường tròn (O).

\(\Rightarrow \widehat{KMJ}=\widehat{KBA}\). Hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị nên JM // AB

\(\Rightarrow JM\bot CH\,\,\left( CH\bot AB \right)\Rightarrow \widehat{CMJ}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{CMJ}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O₁ \(\Rightarrow {{O}_{1}}\) là trung điểm của CJ.

c) Ta có \(OD\bot AC\Rightarrow DJ\bot {{O}_{1}}J\) tại J \(\Rightarrow DJ\) là tiếp tuyến của đường tròn (O₁).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link