Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D nằm trên đường tròn đó sao cho C, D nằm khác
Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D nằm trên đường tròn đó sao cho C, D nằm khác phía đối với đường thẳng AB, đồng thời AD > AC. Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC và AD lần lượt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lượt là H, I; giao điểm của MD và CN là K.
a) Chứng minh \(\widehat {ACN} = \widehat {DMN}\). Từ đó suy ra tứ giác MCKH nội tiếp.
b) Chứng minh KH song song với AD.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa \(sd\overset\frown{AC}\) và \(sd\overset\frown{AD}\) để AK song song với ND.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất: Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
b) Chứng minh hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau.
c) Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
a) Chứng minh \(\widehat {ACN} = \widehat {DMN}\). Từ đó suy ra tứ giác MCKH nội tiếp.
Ta có:
Góc ACN là góc nội tiếp chắn cung AN; góc DMN là góc nội tiếp chắn cung DN.
Mà cung AN = cung DN (gt)
\( \Rightarrow \widehat {ACN} = \widehat {DMN}\) (Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau).
b) Chứng minh KH song song với AD.
Do đó tứ giác CMHK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).
\( \Rightarrow \widehat {CHK} = \widehat {CMK} = \widehat {CMD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CK).
Mà \(\widehat {CMD} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn (O))
\( \Rightarrow \widehat {CHK} = \widehat {CAD}\).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow HK//AD\).
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa \(sd\overset\frown{AC}\) và \(sd\overset\frown{AD}\) để AK song song với ND.
Chứng minh tương tự ta có \(AI//KH\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác AHKI là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh đối song song)
Ta có AK // DN \( \Rightarrow \widehat {IAK} = \widehat {ADN}\) (so le trong)
Lại có \(\widehat {ADN} = \widehat {DMN} = \widehat {AMN} \Rightarrow \widehat {IAK} = \widehat {DMN} = \widehat {KMI} \Rightarrow \) tứ giac AIKM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).
\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AKI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI)
\( \Rightarrow \widehat {IAK} = \widehat {AKI} \Rightarrow \Delta IAK\) cân tại I \( \Rightarrow IA = IK\)
\( \Rightarrow AHKI\) là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).
\( \Rightarrow IH \bot AK\) (hai đường chéo của hình thoi).
\( \Rightarrow MN \bot AK\), mà \(AK//DN \Rightarrow AM \bot ND \Rightarrow \widehat {MND} = {90^0} \Rightarrow \) Góc MND nội tiếp chắn nửa đường tròn.
\( \Rightarrow MD\) là đường kính của đường tròn tâm O.
\( \Rightarrow \) sđ cung MAD = 1800
\( \Rightarrow \) sđ cung MA + sđ cung AD = 1800
\( \Rightarrow \) sđ cung \(\frac{{AC}}{2}\) + sđ cung AD = 1800
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
