Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_2^5 {f(x)dx} = 4\), \(f(5) = 3,\,\,f(2) =

Câu hỏi số 267299:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_2^5 {f(x)dx} = 4\), \(f(5) = 3,\,\,f(2) = 2\). Tính \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}f'({x^2} + 1)dx} \).

A. \(I = 3\).

B. \(I = 4\).

C. \(I = 1\).

D. \(I = 6\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267299

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết

Đặt \({x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt\), đổi cận: \(x = 1 \to t = 2,\,\,\,x = 2 \to t = 5\)

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^2 {{x^3}f'({x^2} + 1)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {(t - 1)f'(t)} dt = \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {(t - 1)} \,d\left( {f(t)} \right) = \frac{1}{2}f(t).\left. {(t - 1)} \right|_2^5 - \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {f(t)d(t - 1)} \\ = \frac{1}{2}f(t).\left. {(t - 1)} \right|_2^5 - \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {f(t)dt} = \frac{1}{2}\left( {f(5).4 - f(2).1} \right) - \frac{1}{2}\int\limits_2^5 {f(x)dx} \\ = \frac{1}{2}\left( {3.4 - 2.1} \right) - \frac{1}{2}.4 = 5 - 2 = 3\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.