Cho tứ diện ABCD có \(M,N,P\)lần lượt thuộc các cạnh \(AB,\,BC,CD\) sao cho \(MA = MB,\,NB = 2NC,\)\(PC

Câu hỏi số 267301:

Vận dụng cao

Cho tứ diện ABCD có \(M,N,P\)lần lượt thuộc các cạnh \(AB,\,BC,CD\) sao cho \(MA = MB,\,NB = 2NC,\)\(PC = 2PD\). Mặt phẳng (MNP) chia tứ diện thành hai phần. Gọi \(T\)là tỉ số thể tích của phần nhỏ chia phần lớn. Giá trị của T bằng

A. \(\frac{{25}}{{43}}\).

B. \(\frac{{19}}{{26}}\).

C. \(\frac{{13}}{{25}}\).

D. \(\frac{{26}}{{45}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267301

Phương pháp giải

Gọi thể tích tứ diện ABCD là V, tính thể tích các phần theo V dựa vào tỉ số đường cao, tỉ số diện tích đáy tương ứng.

Giải chi tiết

Gọi E là giao điểm của NP và BD, F là giao điểm của ME và AD.

Khi đó, thiết diện của (MNP) và tứ diện ABCD là tứ giác MNPF.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD ta có \(\frac{{NB}}{{NC}}.\frac{{PC}}{{PD}}.\frac{{EB}}{{ED}} = 1 \Leftrightarrow 2.2.\frac{{EB}}{{ED}} = 1 \Rightarrow \frac{{EB}}{{ED}} = \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow BE = \frac{4}{3}BD\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABD có: \(\frac{{MA}}{{MB}}.\frac{{EB}}{{ED}}.\frac{{FD}}{{FA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{FD}}{{FA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{FD}}{{AD}} = \frac{1}{5}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{S_{BNE}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{{NB}}{{CB}}.\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{2}{3}.\frac{4}{3} = \frac{8}{9}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{M.BNE}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{MB}}{{AB}}.\frac{{{S_{BNE}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{8}{9} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{M.BNE}} = \frac{4}{9}{V_{ABCD}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{S_{PDE}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{{PD}}{{CD}}.\frac{{DE}}{{BD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}\\ \Rightarrow \frac{{{V_{F.PDE}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{FD}}{{AD}}.\frac{{{S_{PDE}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{1}{5}.\frac{1}{9} = \frac{1}{{45}} \Rightarrow {V_{F.PDE}} = \frac{1}{{45}}{V_{ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{MNPFBD}} = {V_{M.BNE}} - {V_{F.PDE}} = \frac{{19}}{{45}}{V_{ABCD}} = {V_1}\\ \Rightarrow {V_2} = \frac{{26}}{{45}}{V_{ABCD}}\\ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{19}}{{26}}\end{array}\)

Chọn: B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.