Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB = 8,\,\,BC = 6\). Biết \(SA = 6\) và SA

Câu hỏi số 267302:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB = 8,\,\,BC = 6\). Biết \(SA = 6\) và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tìm bán kính mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABC.

A. \(\frac{7}{5}\).

B. \(\sqrt 5 - 1\).

C. \(\frac{5}{4}\).

D. \(\frac{4}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:267302

Phương pháp giải

Tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện sẽ nằm trên các mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt kề nhau của tứ diện.

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

\(A\left( {8;0;0} \right),\,\,B \equiv O(0;0;0),\,\,\,C\left( {0;6;0} \right),\,\,S\left( {8;0;6} \right)\)

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp (thuộc không gian bên trong của hình chóp).

+) Phương trình các mặt bên của hình chóp:

(SAB) trùng (xOz) \( \Rightarrow (SAB):\,\,y = 0\)

\(\overrightarrow {SA} = \left( {0;0; - 6} \right),\,\,\,\overrightarrow {SB} = \left( { - 8;0; - 6} \right),\,\,\overrightarrow {SC} = \left( { - 8;6; - 6} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {36;0; - 48} \right),\,\,\left[ {\overrightarrow {SA} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {36;48;0} \right)\)

\((SBC)\) có 1 VTPT là \(\left( {3;0; - 4} \right)\), \((SAC)\) có 1 VTPT là \((3;4;0)\).

Phương trình mặt phẳng \((SBC)\): \(3\left( {x - 8} \right) + 0 - 4(z - 6) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4z = 0\)

Phương trình mặt phẳng \((SAC)\): \(3\left( {x - 8} \right) + 4(y - 0) + 0 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 24 = 0\)

+) Viết phương trình mặt phẳng (SBI):

Phương trình các mặt phẳng phân giác của mặt \((SBC)\)và \(\left( {SAB} \right)\)là:

\(\frac{{\left| y \right|}}{1} = \frac{{\left| {3x - 4z} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5y = 3x - 4z\\5y = - 3x + 4z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 5y - 4z = 0\,\,\left( {{\alpha _1}} \right)\\3x + 5y - 4z = 0\,\,\left( {{\alpha _2}} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(\left( {3.8 - 5.0 - 4.0} \right)\left( {3.0 - 5.6 - 4.0} \right) < 0 \Rightarrow A,\,\,C\) nằm khác phía so với \(\left( {{\alpha _1}} \right) \Rightarrow \left( {{\alpha _1}} \right) \equiv (SBI)\)

\( \Rightarrow (SBI):\,\,3x - 5y - 4z = 0\,\)

+) Viết phương trình mặt phẳng (SAI):

Phương trình các mặt phẳng phân giác của mặt \((SAC)\)và \(\left( {SAB} \right)\)là:

\(\frac{{\left| y \right|}}{1} = \frac{{\left| {3x + 4y - 24} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5y = 3x + 4y - 24\\5y = - 3x - 4y + 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - y - 24 = 0\,\,\left( {{\beta _1}} \right)\\x + 3y - 8 = 0\,\,\left( {{\beta _2}} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(\left( {3.0 - 0 - 24} \right)\left( {3.0 - 6 - 24} \right) > 0 \Rightarrow B,\,\,C\) nằm cùng phía so với \(\left( {{\beta _1}} \right)\)

\( \Rightarrow (SAI) \equiv \left( {{\beta _2}} \right):\,\,x + 3y - 8 = 0\,\)

+) Viết phương trình mặt phẳng (IAB):

Ta có: \((SAB):\,\,y = 0,\,\,\,(ABC):\,\,z = 0 \Rightarrow \) \((IAB)\) là mặt phẳng qua B(0;0;0) và có 1 VTPT là (0; 1; -1)

\( \Rightarrow (IAB):y - z = 0\)

+) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y - 4z = 0\,\\x + 3y - 8 = 0\,\\y - z = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \frac{4}{3}\\z = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I(4;\frac{4}{3};\frac{4}{3})\)

Bán kính mặt cầu : \(R = d\left( {I;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{4}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.