Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d và \(\Delta \) vuông góc với nhau và nhận \(AB=a\)
Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau d và \(\Delta \) vuông góc với nhau và nhận \(AB=a\) làm đoạn vuông góc chung \(\left( A\in d;\,\,B\in \Delta \right)\) Trên d lấy điểm M, trên \(\Delta \) lấy điểm N sao cho \(AM=2a;\,\,BN=4a\) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABMN\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(BI\) là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Xác định tâm I.
+) Dựng mặt phẳng chứa BI và song song AM, đưa về bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.
+) Sử dụng công thức tính thể tích để tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.
Ta có \(\left\{ \begin{align}& AM\bot AB \\& AM\bot BN \\\end{align} \right.\Rightarrow AM\bot \left( ABN \right)\)
\(AB\bot \Delta \Rightarrow AB\bot BN\Rightarrow \Delta ABN\) vuông tại B.
Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm của AN, MN và AM ta có:
I là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABN\); \(IH//AM\Rightarrow IH\bot \left( ABN \right)\Rightarrow IA=IB=IN\)
\(IK//AN\Rightarrow IK\bot AM\Rightarrow IA=IM\)
\(\Rightarrow IM=IA=IB=IN\Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABMN\)
Ta có
\(\begin{align} & AM//IH\Rightarrow AM//\left( BHI \right)\supset BI \\ & \Rightarrow d\left( AM;BI \right)=d\left( AM;\left( BHI \right) \right)=d\left( A;\left( BHI \right) \right) \\\end{align}\)
Ta có \({{S}_{\Delta ABH}}=\frac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.a.4a={{a}^{2}}\)
\(\begin{align} & IH=\frac{1}{2}AM=a\Rightarrow {{V}_{I.ABH}}=\frac{1}{3}IH.{{S}_{\Delta ABH}}=\frac{1}{3}.a.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}}{3} \\ & {{V}_{I.ABH}}=\frac{1}{3}d\left( A;\left( BHI \right) \right).{{S}_{\Delta BHI}}\Rightarrow d\left( A;\left( BHI \right) \right)=\frac{3{{V}_{I.ABH}}}{{{S}_{\Delta BHI}}} \\\end{align}\)
Mà \(IH\bot \left( ABN \right)\Rightarrow IH\bot BH\Rightarrow \Delta BHI\) vuông tại H có \(HI=a;\,\,BH=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{17}}{2}\)
\(\Rightarrow {{S}_{\Delta BHI}}=\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{17}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{17}}{4}\)
Vậy \(d\left( AM;BI \right)=d\left( A;\left( BHI \right) \right)=\frac{3.\frac{{{a}^{3}}}{3}}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{17}}{4}}=\frac{4a}{\sqrt{17}}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
