Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;-1;1 \right);\,\,M\left( 5;3;1

Câu hỏi số 268183:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( 2;-1;1 \right);\,\,M\left( 5;3;1 \right);\,\,N\left( 4;1;2 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,y+z=27\) . Biết rằng tồn tại điểm B trên tia AM, điểm C trên \(\left( P \right)\) và điểm D trên tia AN sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình thoi. Tọa độ điểm C là:

A. \(\left( -15;21;6 \right)\)

B. \(\left( 21;21;6 \right)\)

C. \(\left( -15;7;20 \right)\)

D. \(\left( 21;19;8 \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268183

Phương pháp giải

\(ABCD\) là hình thoi

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \\
\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0
\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left( 3;4;0 \right);\,\,\overrightarrow{AN}=\left( 2;2;1 \right)\)

phương trình đường thẳng AM và AN lần lượt là :

\(\begin{array}{l}
\left( {AM} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 3t\\
y = - 1 + 4t\\
z = 1
\end{array} \right.;\,\,\,\left( {AN} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t'\\
y = - 1 + 2t'\\
z = 1 + t'
\end{array} \right.\\
B \in AM \Rightarrow B\left( {2 + 3t; - 1 + 4t;1} \right);\,\,\,D \in AN \Rightarrow D\left( {2 + 2t'; - 1 + 2t';1 + t'} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {3t;4t;0} \right);\,\,\overrightarrow {DC} = \left( {{x_C} - 2 - 2t';\,{y_C} + 1 - 2t';{z_C} - 1 - t'} \right)
\end{array}\)

Do là hình thoi \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} - 2 - 2t' = 3t\\
{y_C} + 1 - 2t' = 4t\\
{z_C} - 1 - t' = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = 3t + 2t' + 2\\
{y_C} = 4t + 2t' - 1\\
{z_C} = t' + 1
\end{array} \right.\)

Mà \(C \in \left( P \right) \Rightarrow 4t + 2t' - 1 + t' + 1 = 27 \Leftrightarrow 4t + 3t' = 27\)

ABCD là hình thoi \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0\)

Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( {3t + 2t';4t + 2t';t'} \right);\,\,\overrightarrow {BD} = \left( {2t' - 3t;2t' - 4t;t'} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {3t + 2t'} \right)\left( {2t' - 3t} \right) + \left( {4t + 2t'} \right)\left( {2t' - 4t} \right) + t{'^2} = 0\\
\Leftrightarrow 4t{'^2} - 9{t^2} + 4t{'^2} - 16{t^2} + t{'^2} = 0\\
\Leftrightarrow 9t{'^2} = 25{t^2}\\
\Leftrightarrow 3t' = \pm 5t
\end{array}\)

TH1 :

\(\left\{ \begin{array}{l}
4t + 3t' = 27\\
3t' = 5t
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 3\\
t' = 5
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {21;21;6} \right)\)

TH2 :

\(\left\{ \begin{array}{l}
4t + 3t' = 27\\
3t' = - 5t
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = - 27\\
t' = 45
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {11; - 19;46} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.