1. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 8\\2x + 5y = 13\end{array} \right.\) 2.Cho biểu

Câu hỏi số 268266:

Vận dụng

1. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 8\\2x + 5y = 13\end{array} \right.\)

2.Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{6}{{a - 1}} + \frac{{10 - 2\sqrt a }}{{a\sqrt a - a - \sqrt a + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\) (với \(a > 0,\,a \ne 1\))

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Đặt \(C = B.\left( {a - \sqrt a + 1} \right)\). So sánh C và 1.

3.Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 3m - 3 = 0\,\,\left( 1 \right)\), với x là ẩn, m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi \(m = - 1.\)

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,\,{x_2}\) sao cho \({x_1};\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.

A. 1.\(\left( {x;y} \right) = \left( {4;1} \right)\).

2.a\(B = \frac{1}{{\sqrt a }}\)

2.b\(C \ge 1\)

3.a\(S = \left\{ { - 2;3} \right\}\).

3.b\(m = 5\)

B. 1.\(\left( {x;y} \right) = \left( {4;3} \right)\).

2.a\(B = \frac{1}{{\sqrt a }}\)

2.b\(C \ge 1\)

3.a\(S = \left\{ { - 2;3} \right\}\).

3.b\(m = 5\)

C. 1.\(\left( {x;y} \right) = \left( {4;1} \right)\).

2.a\(B = \frac{1}{{\sqrt a }}\)

2.b\(C \ge 1\)

3.a\(S = \left\{ { - 2;3} \right\}\).

3.b\(m = 1\)

D. 1.\(\left( {x;y} \right) = \left( {4;1} \right)\).

2.a\(B = \frac{1}{{\sqrt a }}\)

2.b\(C \ge 1\)

3.a\(S = \left\{ { - 2;5} \right\}\).

3.b\(m = 5\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268266

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. a) Thay \(m = - 1\) và giải phương trình bậc hai.

b) Quy đồng, rút gọn biểu thức B.

Tính C và sử dụng BĐT Cauchy để so sánh C với 1.

Giải chi tiết

1. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 8\\2x + 5y = 13\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 8\\2x + 5y = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 8y = 16\\2x + 5y = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 3\\x = 8 - 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 4\end{array} \right.\).

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;1} \right)\).

2. Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{6}{{a - 1}} + \frac{{10 - 2\sqrt a }}{{a\sqrt a - a - \sqrt a + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\) (với \(a > 0,\,a \ne 1\))

a) Rút gọn biểu thức B.

Với \(a > 0,\,a \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{6}{{a - 1}} + \frac{{10 - 2\sqrt a }}{{a\sqrt a - a - \sqrt a + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \left( {\frac{6}{{a - 1}} + \frac{{10 - 2\sqrt a }}{{a\left( {\sqrt a - 1} \right) - \left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \left( {\frac{6}{{a - 1}} + \frac{{10 - 2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{{6\left( {\sqrt a - 1} \right) + 10 - 2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{{6\sqrt a - 6 + 10 - 2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{{4\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\left( {\sqrt a + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{4}{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{4\sqrt a }}\\B = \frac{1}{{\sqrt a }}\end{array}\)

b) Đặt \(C = B.\left( {a - \sqrt a + 1} \right)\). So sánh C và 1.

\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{\sqrt a }} \Rightarrow C = B.\left( {a - \sqrt a + 1} \right)\\ \Rightarrow C = \frac{1}{{\sqrt a }}\left( {a - \sqrt a + 1} \right) = \sqrt a - 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(\sqrt a + \frac{1}{{\sqrt a }} \ge 2\sqrt {\sqrt a .\frac{1}{{\sqrt a }}} = 2 \Rightarrow \sqrt a - 1 + \frac{1}{{\sqrt a }} \ge 2 - 1 = 1\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt a = \frac{1}{{\sqrt a }} \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy \(C \ge 1\) và \(C = 1 \Leftrightarrow a = 1\).

3. Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 3m - 3 = 0\,\,\left( 1 \right)\), với x là ẩn, m là tham số.

a) Giải phương trình (1) khi \(m = - 1.\)

Thay \(m = - 1\) vào phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} - x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy khi \(m = - 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;3} \right\}\).

Hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) là hai cạnh của một tam giác vuông nên \({x_1};{x_2} > 0\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương \({x_1};\,\,{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S = {x_1} + {x_2} > 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right.\left( * \right)\)

Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = 3m - 3\end{array} \right.\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 3} \right) > 0\\m + 2 > 0\\3m - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 4} \right)^2} > 0\\m + 2 > 0\\3m - 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 4\\m > - 2\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1;m \ne 4\)

Vì \({x_1};\,\,{x_2}\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 nên áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = {5^2} = 25\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 2\left( {3m - 3} \right) = 25\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 6m + 6 = 25\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 15 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 3m - 15 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 5} \right) + 3\left( {m - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 5} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 5\left( {tm} \right)\\m = - 3\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\,\,\end{array}\)

Vậy \(m = 5\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link