Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có A’C = a. Góc

Câu hỏi số 268430:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có A’C = a. Góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng \({{30}^{o}}\) và góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABB’A’) là \({{45}^{o}}\) Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’.

A. \(\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}\)

B. \(\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}\)

C. \(\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}\)

D. \(\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{9}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268430

Phương pháp giải

Sử dụng góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng \((ABCD)\) để tìm chiều cao \(AA'\) và \(AC\).

Sử dụng góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng \((ABB'A')\) để tìm cạnh \(BC\)), từ đó tính \(AB\).

Thể tích hình hộp: \(V = AB \cdot AD \cdot AA'\)

Giải chi tiết

Hình chiếu của đường thẳng \(A'C\) lên mặt phẳng \((ABCD)\) là đường thẳng \(AC\).

Góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(\widehat{A'CA}\).

Trong tam giác vuông \(A'AC\) (vuông tại \(A\) vì \(AA' \perp (ABCD)\)): \(\sin(\widehat{A'CA}) = \dfrac{AA'}{A'C}\), \(\cos(\widehat{A'CA}) = \dfrac{AC}{A'C}\)

\(\sin({30^o}) = \dfrac{AA'}{a} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{AA'}{a} \Rightarrow AA' = \dfrac{a}{2}\);

\(\cos({30^o}) = \dfrac{AC}{a} \Rightarrow \dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{AC}{a} \Rightarrow AC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Mặt phẳng \((ABB'A')\) là một mặt bên của hình hộp chữ nhật.

Vì hình hộp chữ nhật có \(BC \perp AB\) và \(BC \perp BB'\), nên \(BC \perp (ABB'A')\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(C\) trên mặt phẳng \((ABB'A')\) là \(B\).

Hình chiếu của đường thẳng \(A'C\) lên mặt phẳng \((ABB'A')\) là đường thẳng \(A'B\).

Góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng \((ABB'A')\) là góc \(\widehat{CA'B}\).

Trong tam giác vuông \(A'BC\) (vuông tại \(B\) vì \(CB \perp (ABB'A')\)): \(\sin(\widehat{CA'B}) = \dfrac{BC}{A'C}\)

\(\sin({45^o}) = \dfrac{BC}{a} \Rightarrow \dfrac{\sqrt 2}{2} = \dfrac{BC}{a} \Rightarrow BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(AD = BC\), nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Ta có \(AC\) là đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\).

Trong tam giác vuông \(ABC\) (vuông tại \(B\)): \(AB^2 + BC^2 = AC^2\)

\(AB^2 = \dfrac{{3a^2}}{4} - \dfrac{{a^2}}{2} = \dfrac{{3a^2 - 2a^2}}{4} = \dfrac{{a^2}}{4}\)

Suy ra \(AB = \sqrt{\dfrac{{a^2}}{4}} = \dfrac{a}{2}\).

Thể tích hình hộp:

\(V = AB \cdot AD \cdot AA'= \left( {\dfrac{a}{2}} \right) \cdot \left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right) \cdot \left( {\dfrac{a}{2}} \right)\)

\(V = \dfrac{{a^3\sqrt 2 }}{8}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.