Xét 2020 số thực \({{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{2020}}\) chỉ nhận một trong hai giá trị \(2-\sqrt{3}\)

Câu hỏi số 269306:

Vận dụng

Xét 2020 số thực \({{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{2020}}\) chỉ nhận một trong hai giá trị \(2-\sqrt{3}\) và \(2+\sqrt{3}\) Hỏi biểu thức \(\sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}.{{x}_{2k}}}\) nhận bao nhiêu giá trị nguyên khác nhau.

A. 500

B. 506

C. 555

D. 526

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:269306

Giải chi tiết

Đặt: \(a=2-\sqrt{3},\ \ b=2+\sqrt{3}.\)

Theo đề bài ta có:

\(\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{x_{2k - 1}}{x_{2k}}} = \left[ \begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^{1010} {ab} \\
\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{a^2}} \\
\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{b^2}}
\end{array} \right..\)

Ta có: \(ab=\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)=4-3=1,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}=14.\)

\(\Rightarrow ab,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) là các số nguyên.

Có \({{a}^{2}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}=7-4\sqrt{3},\ \ {{b}^{2}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}=7+4\sqrt{3}.\)

\(\Rightarrow a,\ b,\ {{a}^{2}},\ {{b}^{2}}\) là các số vô tỷ.

Khi đó biểu thức: \(\sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}{{x}_{2k}}}\) gồm chẵn các số hạng và chỉ số \(x\) chỉ nhận một trong hai giá trị \(a,\ b.\)

\(\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}{{x}_{2k}}}\in Z\Leftrightarrow \exists \ 2k\ \ \left( 0\le k\le 505 \right)\) số hạng \(ab\) và \(\frac{1010-2k}{2}\) số hạng \({{a}^{2}},\ {{b}^{2}}.\)

Vì \(ab,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) có giá trị khác nhau nên với mỗi \(k\) ta đều tìm được các giá trị nguyên khác nhau của biểu thức.

\(\Rightarrow \exists \ \ \frac{505-0}{1}+1=506\) giá trị nguyên khác nhau.

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link