Xét 2020 số thực \({{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{2020}}\) chỉ nhận một trong hai giá trị \(2-\sqrt{3}\)

Câu hỏi số 269306:

Vận dụng

Xét 2020 số thực \({{x}_{1}};{{x}_{2}};...;{{x}_{2020}}\) chỉ nhận một trong hai giá trị \(2-\sqrt{3}\) và \(2+\sqrt{3}\) Hỏi biểu thức \(\sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}.{{x}_{2k}}}\) nhận bao nhiêu giá trị nguyên khác nhau.

A. 500

B. 506

C. 555

D. 526

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:269306

Giải chi tiết

Đặt: \(a=2-\sqrt{3},\ \ b=2+\sqrt{3}.\)

Theo đề bài ta có:

\(\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{x_{2k - 1}}{x_{2k}}} = \left[ \begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^{1010} {ab} \\
\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{a^2}} \\
\sum\limits_{k = 1}^{1010} {{b^2}}
\end{array} \right..\)

Ta có: \(ab=\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)=4-3=1,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}=14.\)

\(\Rightarrow ab,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) là các số nguyên.

Có \({{a}^{2}}={{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}=7-4\sqrt{3},\ \ {{b}^{2}}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}=7+4\sqrt{3}.\)

\(\Rightarrow a,\ b,\ {{a}^{2}},\ {{b}^{2}}\) là các số vô tỷ.

Khi đó biểu thức: \(\sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}{{x}_{2k}}}\) gồm chẵn các số hạng và chỉ số \(x\) chỉ nhận một trong hai giá trị \(a,\ b.\)

\(\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{1010}{{{x}_{2k-1}}{{x}_{2k}}}\in Z\Leftrightarrow \exists \ 2k\ \ \left( 0\le k\le 505 \right)\) số hạng \(ab\) và \(\frac{1010-2k}{2}\) số hạng \({{a}^{2}},\ {{b}^{2}}.\)

Vì \(ab,\ \ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\) có giá trị khác nhau nên với mỗi \(k\) ta đều tìm được các giá trị nguyên khác nhau của biểu thức.

\(\Rightarrow \exists \ \ \frac{505-0}{1}+1=506\) giá trị nguyên khác nhau.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link