Hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đường cao
Hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm của đường cao SH của hình chóp. Chứng minh rằng: \(\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COA}={{90}^{0}}\)
Quảng cáo
- Tư duy logic để vận dụng kiến thức đã học (định lý Pitago, định lý đảo của định lý Pitago) chứng minh điều cần chứng minh.
Gọi a là cạnh của hình chóp, M là trung điểm của AB.
\(\Rightarrow AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a\)
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác CMA vuông tại M:
\(\begin{align} & C{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=A{{C}^{2}} \\ & \Leftrightarrow C{{M}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{M}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2}a \right)}^{2}}=\frac{3}{4}{{a}^{2}} \\ & \Rightarrow CM=\frac{\sqrt{3}}{2}a \\\end{align}\)
\(\Rightarrow CH=\frac{2}{3}CM=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a\) (Vì CM là đường trung tuyến của tam giác ABC)
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác SHC vuông tại H:
\(\begin{align} & S{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}=S{{C}^{2}} \\ & \Leftrightarrow S{{H}^{2}}=S{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3}a \right)}^{2}}=\frac{2}{3}{{a}^{2}} \\ & \Rightarrow SH=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}a=\frac{\sqrt{6}a}{3}. \\\end{align}\)
Vì O là trung điểm của SH nên \(OH=\frac{1}{2}SH=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{a\sqrt{6}}{6}.\)
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác OHC vuông tại H:
\(O{{C}^{2}}=C{{H}^{2}}+O{{H}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}+\frac{{{a}^{2}}}{6}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\)
Tương tự: \(O{{B}^{2}}=O{{A}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\)
Xét tam giác BOC ta có: \(O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}+\frac{{{a}^{2}}}{2}={{a}^{2}}=B{{C}^{2}}\)
\(\Rightarrow \widehat{BOC}={{90}^{0}}\) (Theo định lý đảo của định lý Pitago)
Tương tự ta chứng minh được: \(\widehat{AOB}=\widehat{COA}={{90}^{0}}\)
- Học sinh chú ý trong thao tác tính toán để tránh tính toán nhầm.
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
