Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} - m + 1} \right){x^2} + m - 1\,\,\left( C \right)\). Tìm m để đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu nhỏ nhất

Câu 269979: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {{m^2} - m + 1} \right){x^2} + m - 1\,\,\left( C \right)\). Tìm m để đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu nhỏ nhất

A. \(m \ge 1\)

B. \(m \le 1\)

C. \(m = 1\)

D. \(m = \frac{1}{2}\)

Câu hỏi : 269979

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm hai điểm cực tiểu A, B của hàm số và tính AB.

+) Phân tích để làm xuất hiện hằng đẳng thức và tìm GTNN của AB.

Đáp án : D
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ : \(D = R\)

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4\left( {{m^2} - m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} - m + 1 > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(y' = 0\) luôn có 3 nghiệm phân biệt \(\forall m\).

Khi đó ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = m - 1\\x = \sqrt {{m^2} - m + 1} \Rightarrow y = - {\left( {{m^2} - m + 1} \right)^2} + m - 1\\x = - \sqrt {{m^2} - m + 1} \Rightarrow y = - {\left( {{m^2} - m + 1} \right)^2} + m - 1\end{array} \right.\)

Hàm số có hai điểm cực tiểu là

\(\begin{array}{l}A\left( {\sqrt {{m^2} - m + 1} ; - {{\left( {{m^2} - m + 1} \right)}^2} + m - 1} \right);\,\,B\left( { - \sqrt {{m^2} - m + 1} ; - {{\left( {{m^2} - m + 1} \right)}^2} + m - 1} \right)\\ \Rightarrow AB = 2\sqrt {{m^2} - m + 1} = 2\sqrt {{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \ge 2\sqrt {\frac{3}{4}} = \sqrt 3 \\ \Rightarrow A{B_{\min }} = \sqrt 3 \end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\)

Chọn D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.