Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab +

Câu hỏi số 270470:

Vận dụng cao

Cho \(a > 0,b > 0\) thỏa mãn \({\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) = 2\). Giá trị của \(a + 2b\) bằng

A. \(6\)

B. \(9\)

C. \(\frac{7}{2}\)

D. \(\frac{5}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

- Chứng minh các cơ số trong biểu thức logarit đều lớn \(1\) và đánh giá vế trái đẳng thức đã cho \( \ge 2\)

- Sử dụng điều kiện xảy ra dấu \( = \) và tìm \(a,b\)

Giải chi tiết

Vì \(a,b > 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b + 1 > 1\\9{a^2} + {b^2} + 1 > 1\\6ab + 1 > 1\end{array} \right. \Rightarrow {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) > 0\)

Lại có : \(9{a^2} + {b^2} + 1 \ge 6ab + 1\) \( \Rightarrow {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) \ge {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right)\)

Suy ra :

\(2 = {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {9{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) \ge {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right)\)

Mà \({\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) + {\log _{6ab + 1}}\left( {3a + 2b + 1} \right) = {\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) + \frac{1}{{{{\log }_{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right)}} \ge 2\)

Dấu \( = \) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\{\log _{3a + 2b + 1}}\left( {6ab + 1} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3a\\18{a^2} = 9a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Do đó \(a + 2b = \frac{7}{2}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:270470

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.