Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận

Câu hỏi số 270471:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng

A. \(\sqrt 6 \)

B. \(2\sqrt 3 \)

C. \(2\)

D. \(2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

- Viết phương trình \(AB\) và xét phương trình hoành độ giao điểm của \(AB\) và \(\left( C \right)\)

- Tam giác \(IAB\) đều khi và chỉ khi \(d\left( {I,AB} \right) = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\) và sử dụng vi-et thay và đẳng thức tìm \(AB\)

Giải chi tiết

Tam giác \(IAB\) đều thì \(AB\) vuông góc với tia phân giác góc phần tử thứ \(II,IV\)

Phương trình \(AB:y = x + m\), phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(AB\) là :

\(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m + 1 = 0\left( {x \ne - 2} \right)\)

Có \(\Delta = {m^2} - 6m - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3 + 2\sqrt 3 \\m < 3 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Tam giác \(ABI\) đều tại \(I\) khi và chỉ khi \(IH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow d\left( {I,AB} \right) = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m = 9\\ \Leftrightarrow AB = \sqrt {2\left( {{m^2} - 6m - 3} \right)} = 2\sqrt 3 \end{array}\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:270471

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.