Cho phương trình \({5^x} + m = {\log _5}\left( {x - m} \right)\) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 270472:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({5^x} + m = {\log _5}\left( {x - m} \right)\) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 20;20} \right)\) để phương trình đã cho có nghiệm ?

A. \(20\)

B. \(19\)

C. \(9\)

D. \(21\)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

- Đặt \({\log _5}\left( {x - m} \right) = y \Rightarrow x = {5^y} + m\) đưa về hệ đối xứng loại II ẩn \(x,y\)

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

Giải chi tiết

Đặt \({\log _5}\left( {x - m} \right) = y \Leftrightarrow x - m = {5^y} \Leftrightarrow x = m + {5^y}\)

Ta có hệ : \(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} + m = y\,\,\,\left( 1 \right)\\{5^y} + m = x\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ vế cho vế của \(\left( 1 \right)\) cho \(\left( 2 \right)\) ta được \({5^x} + x = {5^y} + y\,\,\,\left( * \right)\)

Xét \(f\left( t \right) = {5^t} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 + 1 > 0,\forall t\) suy ra hàm số đồng biến trên \(R\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow x = y\). Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = x - {5^x}\)

Xét \(g\left( x \right) = x - {5^x} \Rightarrow g'\left( x \right) = 1 - {5^x}\ln 5 = 0 \Leftrightarrow x = {\log _5}\frac{1}{{\ln 5}}\)

Do đó \(m < - 0,92\), mà \(m \in \left( { - 20;20} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 19; - 18;...; - 1} \right\}\)

Vậy có \(19\) giá trị nguyên của \(m\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:270472

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.