Hình thang \(ABCD\) vuông ở \(A\) và \(B,\;\;AD = 2BC.\) Vẽ \(AH \bot BD,\;\;M\) là trung điểm của \(DH.\)

Câu hỏi số 271235:

Vận dụng

Hình thang \(ABCD\) vuông ở \(A\) và \(B,\;\;AD = 2BC.\) Vẽ \(AH \bot BD,\;\;M\) là trung điểm của \(DH.\) Chứng minh \(AM \bot MC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:271235

Giải chi tiết

Lấy điểm \(E\) đối xứng với \(A\) qua \(M \Rightarrow AHED\) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

\( \Rightarrow \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {AD} .\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} .\left( {\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {2\overrightarrow {BM} - 2\overrightarrow {BC} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {2\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {AD} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AH} .2\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .2\overrightarrow {BM} - {{\overrightarrow {AD} }^2}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {0 - \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} } \right) - A{D^2}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} - \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD} + 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AM} - 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} - \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AE} + 0} \right)\;\;\;\left( {do\;\;\overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AM} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left[ { - A{D^2} - \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AE} } \right)} \right]\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {EH} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HE} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} + A{D^2}} \right) = 0.\\ \Rightarrow AM \bot CM\;\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10