Cho \(\left( {O;\;R} \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) Điểm \(H\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} +

Câu hỏi số 271238:

Vận dụng

Cho \(\left( {O;\;R} \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) Điểm \(H\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\) Chứng minh \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:271238

Giải chi tiết

Kẻ đường kính \(AD \Rightarrow \angle ABD = \angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\DB \bot AB\end{array} \right..\)

Gọi \(J\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HJ} .\)

Theo đề bài ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

Lại có: \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} .\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {HJ} = \overrightarrow {HD.} \end{array}\)

\( \Rightarrow J\) là trung điểm của \(HD.\)

Xét tứ giác \(BHCD\) ta có: \(J\) là trung điểm của hai đường chéo \(HD\) và \(BC.\)

\( \Rightarrow BHCD\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH//CD\\CH//BD\end{array} \right..\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\DB \bot AB\end{array} \right.\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.