Cho \(\left( {O;\;R} \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) Điểm \(H\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} +
Cho \(\left( {O;\;R} \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) Điểm \(H\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\) Chứng minh \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)
Quảng cáo
Kẻ đường kính \(AD \Rightarrow \angle ABD = \angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Hay \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\DB \bot AB\end{array} \right..\)
Gọi \(J\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HJ} .\)
Theo đề bài ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)
Lại có: \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} .\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {HJ} = \overrightarrow {HD.} \end{array}\)
\( \Rightarrow J\) là trung điểm của \(HD.\)
Xét tứ giác \(BHCD\) ta có: \(J\) là trung điểm của hai đường chéo \(HD\) và \(BC.\)
\( \Rightarrow BHCD\) là hình bình hành.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH//CD\\CH//BD\end{array} \right..\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\DB \bot AB\end{array} \right.\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
