Cho \(\left( {O;\;R} \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) Điểm \(H\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} +

Câu hỏi số 271238:

Vận dụng

Cho \(\left( {O;\;R} \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) Điểm \(H\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\) Chứng minh \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:271238

Giải chi tiết

Kẻ đường kính \(AD \Rightarrow \angle ABD = \angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\DB \bot AB\end{array} \right..\)

Gọi \(J\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HJ} .\)

Theo đề bài ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {OH} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

Lại có: \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} .\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {HJ} = \overrightarrow {HD.} \end{array}\)

\( \Rightarrow J\) là trung điểm của \(HD.\)

Xét tứ giác \(BHCD\) ta có: \(J\) là trung điểm của hai đường chéo \(HD\) và \(BC.\)

\( \Rightarrow BHCD\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH//CD\\CH//BD\end{array} \right..\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\DB \bot AB\end{array} \right.\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.