Tứ diện OABC, OA, OB, OC đôi một vuông góc. H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng

Câu hỏi số 271896:

Vận dụng

Tứ diện OABC, OA, OB, OC đôi một vuông góc. H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Chứng minh

a) \(BC \bot \left( {AOH} \right)\)

b) H là trực tâm \(\Delta ABC\).

c) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:271896

Giải chi tiết

a) * \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\,\,\left( 1 \right)\)

* \(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {BOC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\,\,\left( 2 \right)\)

* Từ (1) và (2) \( \Rightarrow BC \bot \left( {AOH} \right)\).

b) * Nối \(AH \cap BC = E\). Theo a) ta có :

\(BC \bot \left( {AOH} \right) \Rightarrow BC \bot AH \Rightarrow BC \bot AE\,\,\left( 3 \right)\)

* Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot \left( {BOH} \right) \Rightarrow AC \bot BF\,\,\left( 4 \right)\)

* Từ (3) và (4) \( \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác ABC.

c) * Tam giác vuông AOE có : \(\frac{1}{{C{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}}\,\,\left( 5 \right)\)

* Tam giác vuông BOC có: \(\frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\,\,\left( 6 \right)\)

* Thay (6) vào (5) có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.