Cho a là số nguyên dương. Biết 3 nghiệm \(x_1 < x_2 < x _ 3\) của phương trình: \({x^3} - 3{x^2} +

Câu hỏi số 272684:

Vận dụng

Cho a là số nguyên dương. Biết 3 nghiệm \(x_1 < x_2 < x _ 3\) của phương trình: \({x^3} - 3{x^2} + \left( {2 - a} \right)x + a = 0\)

a) CMR: Biểu thức A có giá trị không đổi: \(A = 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.\)

b) Đặt \({S_n} = x_1^n + x_2^n + x_3^n.\) CMR: S là số nguyên lẻ với mọi n tự nhiên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272684

Giải chi tiết

a) CMR: Biểu thức A có giá trị không đổi: \(A = 4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - x_1^2 + x_2^2 + x_3^2.\)

Ta có: Phương trình ban đầu tương đương với

\(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - a} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 + \sqrt {a + 1} \\x = 1 - \sqrt {a + 1} \end{array} \right.\)

Ta có: \( \Leftrightarrow 1 - \sqrt {a + 1} < 1 < 1 + \sqrt {a + 1} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - \sqrt {a + 1} \\{x_2} = 1\\{x_3} = 1 + \sqrt {a + 1} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_3} = 2\\{x_1}.{x_3} = 1 - \left( {a + 1} \right) = - a\end{array} \right.\)

(Theo định lý Viet).

Thay vào biểu thức A ta được:

\(\begin{array}{l}P = 4\left( {1 - \sqrt {a + 1} + 1} \right) - {\left( {1 - \sqrt {a + 1} } \right)^2} + 1 + {\left( {1 + \sqrt {a + 1} } \right)^2}\\P = 8 - 4\sqrt {a + 1} - 1 + 2\sqrt {a + 1} - a - 1 + 1 + 1 + 2\sqrt {a + 1} + a + 1\\P = 9\end{array}\)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

b) Đặt \({S_n} = x_1^n + x_2^n + x_3^n.\) CMR: S là số nguyên lẻ với mọi n tự nhiên.

Đặt:

\(\begin{array}{l}{Q_n} = x_1^n + x_3^n\\n = 0 \Rightarrow {Q_0} = 2.\\n = 1 \Rightarrow {Q_1} = {x_1} + {x_3} = 2.\\{Q_{n + 2}} = x_1^{n + 2} + x_3^{n + 2} = \left( {{x_1} + {x_3}} \right)\left( {x_1^{n + 1} + x_3^{n + 1}} \right) - {x_1}{x_3}(x_1^n + x_3^n) = 2{Q_{n + 1}} + a{Q_n}.\end{array}\)

Theo nguyên lý Quy nạp thì Q là số chẵn với mọi số tự nhiên n.

Suy ra: \({S_n} = 1 + {Q_n}\) là số lẻ.

Ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link