Cho đường tròn (O) đường kính BC và H là 1 điểm nằm trên đoạn thẳng BO (điểm H không trùng

Câu hỏi số 272781:

Vận dụng cao

Cho đường tròn (O) đường kính BC và H là 1 điểm nằm trên đoạn thẳng BO (điểm H không trùng với hai điểm B và O). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường tròn (O) tại A và D. Gọi M là giao điểm của AC và BD, qua M vẽ đường thẳng vuông góc BC tại N.

a) Chứng minh rằng tứ giác MNBA nội tiếp.

b) Tính giá trị: \(P = 2{\left( {\dfrac{{BO}}{{AB}}} \right)^2} - \dfrac{{OH}}{{BH}}\)

c) Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt hai đường thẳng AC và AN lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng đường thẳng EC luôn đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AH khi điểm H khi động trên đoạn thẳng BO.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272781

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng tứ giác MNBA nội tiếp.

Ta có: \(\widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAM} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\begin{array}{l}\widehat {MNB} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \widehat {BAM} + \widehat {MNB} = {180^0}\end{array}\)

Do đó tứ giác MNBA nội tiếp đường tròn đường kính MB (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Tính giá trị: \(P = 2{\left( {\dfrac{{BO}}{{AB}}} \right)^2} - \dfrac{{OH}}{{BH}}\)

Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng hệ thức lượng ta có:

\(\begin{array}{l}BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{2BO}}\\ \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{BH}} = \dfrac{{2BO.OH}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{2BO\left( {BO - BH} \right)}}{{A{B^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2B{O^2} - BH.BC}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{2B{O^2} - A{B^2}}}{{A{B^2}}} = 2{\left( {\dfrac{{BO}}{{AB}}} \right)^2} - 1\\ \Rightarrow P = 2{\left( {\dfrac{{BO}}{{AB}}} \right)^2} - \dfrac{{OH}}{{BH}} = 1\end{array}\)

Vậy giá trị của P là: P = 1.

Ta dễ dàng có:

Do tứ giác DBAC nội tiếp:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {MBN} = \widehat {DBC}\\\widehat {DBC} = \widehat {DAC}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {DAC} \Rightarrow {90^0} - \widehat {MBN} = {90^0} - \widehat {DAC} \Rightarrow \widehat {NMB} = \widehat {BCA}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tứ giác MNBA nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {NMB} = \widehat {NAB}\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB).

Tam giác OAC cân tại O \(\left( {OA = OC} \right) \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {OAC}\,\,\,\left( 3 \right)\) (hai góc ở đáy)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\begin{array}{l}\widehat {NAB} = \widehat {OAC} \Rightarrow \widehat {OAC} + \widehat {BAO} = \widehat {NAB} + \widehat {BAO}\\ \Leftrightarrow \widehat {BAC} = \widehat {NAO} \Rightarrow \widehat {NAO} = {90^0} \Rightarrow OA \bot NA\end{array}\)

\( \Rightarrow \) NA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}EA = EB\\\widehat {EAB} = \widehat {EBA}\end{array} \right.\)

Trong tam giác vuông KAB ta chứng minh được AE là đường trung tuyến

\( \Rightarrow EA = EB = EK \Rightarrow \Delta EAK\) cân tại E \( \Rightarrow \widehat {BKA} = \widehat {EAK}.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH//BK\). Do vậy theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{CI}}{{CE}} = \frac{{AI}}{{KE}}\)

\(HI//EB \Rightarrow \frac{{CI}}{{CE}} = \frac{{HI}}{{BE}} \Rightarrow \frac{{AI}}{{KE}} = \frac{{HI}}{{BE}}\)

Mà \(KE = EB \Rightarrow AI = HI\)

Từ đó suy ra I là trung điểm của AH.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link