Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, K là tâm đường tròn

Câu hỏi số 272889:

Vận dụng

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A và O là trung điểm của IK.

a) CMR: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).

b) CMR: AC là tiếp tuyến của (O).

c) Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272889

Phương pháp giải

Diện tích hình viên phân bởi các cung và các dây cung chính là hiệu diện tích hình tròn và diện tích tứ giác.

Giải chi tiết

a) CMR: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc (O).

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IC là phân giác trong của góc C.

Vì K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC của góc A nên CK là phân giác ngoài của góc C.

Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có IC vuông CK nên \( \angle ICK={{90}^{0}}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\angle IBK={{90}^{0}}\)

Xét tứ giác BICK ta có: \( \angle IBK+\angle ICK={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}.\)

\( \Rightarrow BICK\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \( {{180}^{0}}\) )

Do O là trung điểm của IK nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì OC = OI = OK.

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC.

b) CMR: AC là tiếp tuyến của (O).

Ta có : Tam giác IOC cân tại O nên : \( \angle OIC=\angle OCI.\)

Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có :

\( \begin{align} & \angle OIC=\angle IAC+\angle ACI=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC \\ & \Rightarrow \angle ICO+\angle ICA=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}{{.180}^{0}}={{90}^{0}} \\ & \Rightarrow OC\bot CA. \\\end{align}\)

Do đó AC là tiếp tuyến của (O) tại C (đpcm).

c) Tính tổng diện tích các hình viên phân giới hạn bởi các cung nhỏ CI, IB, BK, KC và các dây cung tương ứng của (O) biết AB = 20, BC = 24.

Gọi diện tích hình cần tính là S, diện tích hình tròn (O) là S’, gọi giao điểm BC và IK là M.

Ta có ngay :

\( \begin{align} & S=S'-{{S}_{ICKB}}=\pi I{{O}^{2}}-{{S}_{IBK}}-{{S}_{IKC}} \\ & =\pi \frac{I{{K}^{2}}}{4}-\frac{BM.IK}{2}-\frac{CM.IK}{2} \\ & =\pi \frac{I{{K}^{2}}}{4}-\frac{BC.IK}{2}. \\\end{align}\)

Ta có :

\( \begin{align} & \ \ \ \ \ {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AM.BC=\frac{AB+BC+CA}{2}.IM \\ & \Leftrightarrow \sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}.24=\left( AB+BC+CA \right).IM \\ & \Leftrightarrow \sqrt{{{20}^{2}}-{{\left( \frac{24}{2} \right)}^{2}}}.24=\left( 20.2+24 \right).IM \\ & \Leftrightarrow IM=6. \\\end{align}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \( IBM\) vuông tại \(B\) có đường cao \( BM\) ta có :

\( \begin{align} & B{{M}^{2}}=IM.MK\Leftrightarrow MK=\frac{B{{M}^{2}}}{IM}=\frac{{{12}^{2}}}{6}=24. \\ & \Rightarrow IM=IM+MK=6+24=30. \\ & \Rightarrow S=\frac{1}{4}\pi I{{K}^{2}}-\frac{1}{2}BC.IK=\frac{1}{4}\pi {{.30}^{2}}-\frac{1}{2}.24.30 \\ & \ \ \ \ \ \ \ =225\pi -360\approx 346,86\ \ \left( dvdt \right). \\\end{align}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link