Cho điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) Vẽ tiếp tuyến SA của

Câu hỏi số 272894:

Vận dụng

Cho điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) Vẽ tiếp tuyến SA của đường tròn \(\left( O \right)\) (với A là tiếp điểm) và cát tuyến SCB không qua tâm O, điểm O nằm trong \(\angle BSA\) điểm C nằm giữa S và B. Gọi H là trung điểm đoạn thẳng CB.

1. Chứng minh rằng tứ giác SAOH nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh rằng \(S{{A}^{2}}=SB.SC\)

3. Gọi MN là đường kính bất kì của đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho ba điểm S, M , N không thẳng hàng. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác SMN lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272894

Phương pháp giải

1. Tứ giác có 2 góc đối nhau có tổng bằng \({{180}^{o}}\) thì nội tiếp đường tròn.

2. Hai góc nội tiếp cùng chắn một dây cung thì bằng nhau. Từ đó ta suy ra được các cặp tam giác đồng dạng, từ đó lập ra các tỉ số giữa các đoạn thẳng, đưa về biểu thức cần chứng minh.

3. Kẻ đường cao SE của tam giác SMN. Vì độ dài đáy MN không đổi nên ta tìm điều kiện để chiều cao SE lớn nhất.

Giải chi tiết

1) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có\(SA\) là tiếp tuyến với \(A\) là tiếp điểm \(\Rightarrow OA\bot SA=\angle SAO={{90}^{o}}\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(BC\) là dây cung, \(H\) là trung điểm của\(BC\)\(\Rightarrow OH\bot BC\Rightarrow \angle OHS={{90}^{o}}\)

Xét tứ giác\(AOHS\) có \(\left\{ \begin{align} & \angle SAO={{90}^{o}} \\ & \angle OHS={{90}^{o}} \\\end{align} \right.\Rightarrow \angle SAO+\angle OHS={{180}^{o}}\)

Suy ra tứ giác \(AOHS\) nội tiếp đường tròn (đpcm).

2) Chứng minh rằng \(S{{A}^{2}}=SB.SC\)

Gọi \(D,K\) lần lượt là giao điểm của \(SO\) với đường tròn (\(D\) nằm giữa \(K\) và \(S\))

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có:

\(\angle SAD\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung \(AD\)

\(\angle AKS\) là góc nội tiếp chắn cung \(AD\)

Suy ra \(\angle SAD=\angle AKS\)

Xét \(\Delta SDA\) và \(\Delta SAK\) có:

\(\angle KSA\) chung

\(\angle SAD=\angle AKS\)(cmt)

\(\Rightarrow \Delta SDA\sim \Delta SAK\Rightarrow \frac{SA}{SK}=\frac{SD}{SA}\Rightarrow S{{A}^{2}}=SK.SD\) (1)

Xét \(\Delta KCS\) và \(\Delta BDS\) ta có:

\(\angle AKC=\angle DBS\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DC)

\(\angle DSC\) chung

\(\Rightarrow \Delta KCS\sim \Delta BDS\Rightarrow \frac{KS}{BS}=\frac{SC}{SD}\Rightarrow SB.SC=SK.SD\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow S{{A}^{2}}=SC.SB\) (đpcm)

3. Gọi MN là đường kính bất kì của đường tròn \(\left( O \right)\) sao cho ba điểm S, M, N không thẳng hàng. Xác định vị trí của MN để diện tích tam giác SMN lớn nhất.

Kẻ \(SE\bot MN\Rightarrow {{S}_{SMN}}=\frac{1}{2}MN.SE\) Mà có \(MN\) cố định (MN là đường kính của đường tròn)

Vậy nên \({{S}_{SMN}}\) max khi và chỉ khi SE max

Xét \(\Delta SOE\) vuông tại E có \(SO\) là cạnh huyền , \(SE\) là cạnh góc vuông \(\Rightarrow SE\le SO\Rightarrow {{S}_{SMN}}\le \frac{1}{2}MN.SO\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(SE\) trùng với \(SO\) suy ra \(SO\bot MN\)

Vậy diện tích tam giác SMN lớn nhất khi và chỉ khi \(SO\bot MN\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link