Giả sử số tự nhiên có ba chữ số \(\overline{abc}\) và \(\overline{xyz}\) có cùng số dư khi chia cho

Câu hỏi số 272895:

Vận dụng cao

Giả sử số tự nhiên có ba chữ số \(\overline{abc}\) và \(\overline{xyz}\) có cùng số dư khi chia cho 11. Chứng minh rằng \(\overline{abcxyz}\) chia hết cho 11.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272895

Phương pháp giải

Mọi số tự nhiên dạng \(\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}.....{{a}_{n}}}\) đều có thể viết dưới dạng \({{a}_{1}}{{.10}^{n-1}}+{{a}_{2}}{{.10}^{n-2}}+...+{{a}_{n}}{{.10}^{0}}\) Từ đó biện luận để được điều cần chứng minh

Giải chi tiết

Vì số tự nhiên có ba chữ số \(\overline{abc}\) và \(\overline{xyz}\) có cùng số dư khi chia cho 11, vậy nên với \({{k}_{1}},{{k}_{2}},m\in \mathbb{N}\) ta có:

\(\overline{abc}=11.{{k}_{1}}+m\Rightarrow \frac{\overline{abc}}{11}={{k}_{1}}\) dư \(m\)

\(\overline{xyz}=11.{{k}_{2}}+m\Rightarrow \frac{\overline{xyz}}{11}={{k}_{2}}\) dư \(m\)

Xét số tự nhiên

\(\begin{align} & \overline{abcxyz}=a{{.10}^{5}}+b{{.10}^{4}}+c{{.10}^{3}}+x{{.10}^{2}}+y.10+z \\ & ={{10}^{3}}\left( a{{.10}^{2}}+b.10+c \right)+\left( x{{.10}^{2}}+y.10+z \right)={{10}^{3}}.\overline{abc}+\overline{xyz} \\\end{align}\)

Xét phép chia

\(\begin{align} & \frac{\overline{abcxyz}}{11}=\frac{{{10}^{3}}\overline{abc}+\overline{xyz}}{11}={{10}^{3}}.\left( {{k}_{1}}+\frac{m}{11} \right)+{{k}_{2}}+\frac{m}{11} \\ & ={{10}^{3}}.{{k}_{1}}+{{k}_{2}}+\frac{{{10}^{3}}+1}{11}m={{10}^{3}}{{k}_{1}}+{{k}_{2}}+91m \\\end{align}\)

Vì \({{k}_{1}},{{k}_{2}},m\in \mathbb{N}\) nên \({{10}^{3}}.{{k}_{1}}+{{k}_{2}}+91m\) cũng là số tự nhiên. Suy ra \(\overline{abcxyz}\) chia hết cho 11 (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link