1) Cho các số \(a;b;c\)thỏa mãn điều kiện \(a+2b+5c=0\) Chứng minh phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\)

Câu hỏi số 273205:

Vận dụng

1) Cho các số \(a;b;c\)thỏa mãn điều kiện \(a+2b+5c=0\) Chứng minh phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) có nghiệm.

2) Giải phương trình \({{\left( 4{{x}^{3}}-x+3 \right)}^{3}}={{x}^{3}}+\frac{3}{2}\)

A. 2) \(x = \frac{{\sqrt[3]{6}}}{2}.\)

B. 2) \(x = - \frac{{\sqrt[3]{6}}}{2}.\)

C. 2) \(x = - \frac{{\sqrt[3]{6}}}{4}.\)

D. 2) \(x = \frac{{\sqrt[3]{6}}}{4}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:273205

Phương pháp giải

1) Rút b theo a và c. Tính biệt thức \(\Delta \)và chứng minh \(\Delta \ge 0\,\,\forall a;b;c\)

2) Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

1) Cho các số \(a;b;c\) thỏa mãn điều kiện \(a + 2b + 5c = 0\). Chứng minh phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm.

\(\begin{array}{l}a + 2b + 5c = 0 \Leftrightarrow b = \frac{{ - a - 5c}}{2}\\\Delta = {b^2} - 4ac = \frac{{{a^2} + 10ac + 25{c^2}}}{4} - 4ac = \frac{{{a^2} - 6ac + 25{c^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - 3c} \right)}^2} + 16{c^2}}}{4} \ge 0\,\,\forall a;b;c.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có nghiệm.

2) Giải phương trình \({\left( {4{x^3} - x + 3} \right)^3} = {x^3} + \frac{3}{2}\)

Đặt \(4{x^3} - x + 3 = t\)

Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{t^3} = {x^3} + \frac{3}{2}\\4{x^3} - x + 3 = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^3} = 2{t^3} - 3\,\,\,\left( 1 \right)\\4{x^3} - x + 3 = t\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{x^3} + 2{t^3} - 3 - x + 3 = t\\ \Leftrightarrow 2{x^3} + 2{t^2} - x - t = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {x + t} \right)\left( {{x^2} - xt + {t^2}} \right) - \left( {x + t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + t} \right)\left( {2{x^2} - 2xt + 2{t^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + t = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\\2{x^2} - 2xt + 2{t^2} - 1 = 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(\left( * \right) \Leftrightarrow t = - x \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow - {x^3} = {x^3} + \frac{3}{2} \Leftrightarrow - 2{x^3} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = - \sqrt[3]{{\frac{3}{4}}} = - \frac{{\sqrt[3]{6}}}{2}.\)

+) Với \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} - 2xt + 2{t^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} - 4xt + {t^2} + 3{t^2} = 2 \Leftrightarrow {\left( {2x - t} \right)^2} + 3{t^2} = 2\,\,\,\,\left( {***} \right)\)

Ta có: \({\left( {2x - t} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x,\,t \Rightarrow \left( {***} \right) \Rightarrow 3{t^2} \le 2 \Leftrightarrow {t^2} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow - \sqrt {\frac{2}{3}} \le t \le \sqrt {\frac{2}{3}} .\)

Tương tự ta có: \( - \sqrt {\frac{2}{3}} \le x \le \sqrt {\frac{2}{3}} .\)

Khi đó kết hợp với phương trình \({t^3} = {x^3} + \frac{3}{2}\) ta có: \(\frac{3}{2} = {t^3} - {x^3} \le \left| {{t^3}} \right| + \left| {{x^3}} \right| \le 2{\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right)^3}\)

\( \Rightarrow \frac{9}{4} \le 4.\frac{8}{{27}} \Leftrightarrow 243 \le 128\) (vô lý)

\( \Rightarrow \left( {***} \right)\) là phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: \(x = - \frac{{\sqrt[3]{6}}}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link