a) Cho các số thực dương thỏa mãn \( \sqrt{a}+\sqrt{b}=1\) Chứng minh rằng \( 3{{\left( a+b
a) Cho các số thực dương thỏa mãn \( \sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)
Chứng minh rằng \( 3{{\left( a+b \right)}^{2}}-\left( a+b \right)+4ab\ge \frac{1}{2}\sqrt{\left( a+3b \right)\left( b+3a \right)}\) .
b) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kì 4 điểm nào cũng có ít nhất 3 điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc 1 đường thẳng.
Quảng cáo
a) Ta có \( \frac{1}{2}\sqrt{\left( a+3b \right)\left( b+3a \right)}\overset{Cauchy}{\mathop{\le }}\,\frac{a+3b+b+3a}{4}=a+b\)
Từ giả thiết ta có \( \sqrt{a}+\sqrt{b}=1\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=1\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}=1-a-b\Leftrightarrow 4ab={{\left( 1-a-b \right)}^{2}}\) .
\( \begin{align} & 3{{\left( a+b \right)}^{2}}-\left( a+b \right)+4ab\ge \frac{1}{2}\sqrt{\left( a+3b \right)\left( b+3a \right)}\Leftrightarrow 3{{\left( a+b \right)}^{2}}-\left( a+b \right)+{{\left( 1-a-b \right)}^{2}}\ge a+b \\ & \Leftrightarrow 3{{a}^{2}}+6ab+3{{b}^{2}}-2a-2b+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1-2a-2b+2ab\ge 0 \\ & \Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+1+8ab-4a-4b\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( 1-2a-2b \right)}^{2}}\ge 0\,\,\left( luon\,\,dung \right) \\ \end{align}\)
b) Xét tam giác ABC với A, B, C là 3 điểm trong 100 điểm đã cho.Vậy đẳng thức được chứng minh.
Lấy D là điểm thứ tư \( \Rightarrow \) hoặc \( D\in AB\) , hoặc \( D\in AC\) , hoặc \( D\in BC\) .
Không mất tính tổng quát ta giả sử \( D\in BC\) .
Lấy điểm E là điểm thứ năm.
Nếu \( E\in AB\) thì trong 4 điểm A ; D ; C ; E không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Nếu \( E\in AD\) thì trong 4 điểm A ; B ; C ; E không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Nếu \( E\in AC\) thì trong 4 điểm A ; D ; B ; E không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Do đó \( E\in BC\) .
Tương tự ta chứng minh được 95 điểm còn lại đều thuộc BC. Cho nên nếu bỏ đi điểm A thì 99 điểm còn lại đều thuộc BC.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
