Cho tam giác \(ABC\ \ \left( CA>CB \right)\) nội tiếp nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính
Cho tam giác \(ABC\ \ \left( CA>CB \right)\) nội tiếp nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB.\) Gọi \(H\) là đường vuông góc hạ từ \(A\) đến tiếp tuyến tại \(C,\ \ AH\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(M.\) Đường vuông góc với \(AC\) kẻ từ \(M\) cắt \(AC\) tại \(K\) và \(AB\) tại \(P.\)
a) Chứng minh rằng: tứ giác \(MKCH\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(AC\) là phân giác góc \(MAB.\)
c) Tìm điều kiện tam giác \(\Delta ABC\) để \(M,\ K,\ O\) thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh đây là tứ giác có 2 góc đối diện vuông.
b) Chứng minh tam giác AMP cân, từ đó suy ra phân giác cũng là đường cao.
c) Lưu ý khi M, K, O thằng hàng tức là O trùng với P.
a) Chứng minh rằng: tứ giác \(MKCH\) nội tiếp.
Do MP vuông góc AC và AH vuông góc CH nên: \(\angle MHC=\angle MKC={{90}^{0}}\)
\(\Rightarrow \angle MHC+\angle MKC={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\)
Do đó tứ giác MKCH nội tiếp a(dhnb).
b) Chứng minh \(AC\) là phân giác góc \(MAB.\)
Ta có: \(\angle HCA=\angle CBA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung cùng chắn cung \(AC\)).
Lại có: \(\left\{ \begin{align} & \angle HAC+\angle ACH={{90}^{0}} \\ & \angle CAB+\angle CBA={{90}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \angle HAC=\angle CAB\)
Hay \(AC\) là phân giác góc \(MAB.\) (đpcm)
c) Tìm điều kiện tam giác \(\Delta ABC\) để \(M,\ K,\ O\) thẳng hàng.
Để M, K, O thẳng hàng thì O phải trùng với P do P là giao điểm MK với AB.
Khi đó do OC // AH (cùng vuông với tiếp tuyến tại C), hơn nữa tam giác AMP cân nên AK là đường trung tuyến, do vậy MK = KP.
Tới đây thì AMCO là hình thoi (hai đường chéo vuông góc với nhau), do vậy MC // AB.
Ta có: \(\angle HMC=\angle HAB=2\angle MAC=2\angle HCM\) (Tính chất tiếp tuyến HC và góc chắn cung MC).
Do vậy tam giác HCM vuông, nên:
\(\left\{ \begin{align} & \angle HMC={{60}^{0}} \\ & \angle HCM={{30}^{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \angle CAB=\angle CAM=\angle HCM={{30}^{0}}.\)
Vậy để M, K, O thẳng hàng thì tam giác ABC là tam giác vuông tại C có \(\angle CAB={{30}^{0}}.\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
