Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 278663:

Vận dụng cao

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(S = x + y + \frac{3}{{4x}} + \frac{3}{{4y}}\)

A. \(\frac{{43}}{{12}}\)

B. \(\frac{{49}}{{12}}\)

C. \(\frac{{44}}{{13}}\)

D. \(\frac{{43}}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:278663

Phương pháp giải

Nhận thấy điểm rơi của bất đẳng thức là \(x = y = \frac{2}{3}\), ta tách hệ số sao cho sau khi áp dụng bất đẳng thức Cosi thì dấu bằng xảy ra khi \(x = y = \frac{2}{3}\). Phần dư còn lại sau khi tách ta áp dụng bất đẳng thức phụ sau: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\).

Giải chi tiết

Cho các số dương \(x,y\) thoả mãn\(x + y \le \frac{4}{3}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + y + \frac{3}{{4x}} + \frac{3}{{4y}}\)

Ta có: \(S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right)\).

Áp dụng bất đẳng thức Co-si có:

\(\begin{array}{l} + )\;x + \frac{4}{{9x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{4}{{9x}}} = 2.\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\\ + )\;y + \frac{4}{{9y}} \ge 2\sqrt {y.\frac{4}{{9y}}} = 2\sqrt {\frac{4}{9}} = \frac{4}{3}\end{array}\)

Chứng minh bất đẳng thức phụ:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)(luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức phụ trên có: \(\frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}}\)

Mà có \(x + y \le \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{{11}}{{36}}.\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{x + y}} \ge \frac{{11}}{{36}}.\frac{4}{{\frac{4}{3}}} = \frac{{11}}{{12}}\).

\( \Rightarrow S = \left( {x + \frac{4}{{9x}}} \right) + \left( {y + \frac{4}{{9y}}} \right) + \frac{{11}}{{36}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{12}} = \frac{{43}}{{12}}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{{9x}}\\y = \frac{4}{{9y}}\\x + y = \frac{4}{3}\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{2}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(\frac{{43}}{{12}}\) khi\(x = y = \frac{2}{3}\).

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link