Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2

Câu hỏi số 281994:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }}} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}} \right)\). Tính giá trị của P với \(x = 3 + 2\sqrt 2 \).

A. \(P = - \sqrt 5 + 1\).

B. \(P = - \sqrt 2 + 1\).

C. \(P = - \sqrt 2 + 2\).

D. \(P = - \sqrt 7 + 1\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:281994

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Sử dụng biểu thức liên hợp.

+) Đặt nhân tử chung.

+) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán.

Giải chi tiết

Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x > 0\\\sqrt {x - 1} \ge 0\\\sqrt 2 - \sqrt x \ne 0\\\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge 1\\x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\)

ĐKXĐ: \(x \ge 1;x \ne 2;x \ne 3\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }}} \right)\left( {\frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}} \right)\\P = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}} \right]\left[ {\frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}} \right]\\P = \left[ {\frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 1} }}{{x - \left( {x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {x - 1} \right) - 2}}} \right].\frac{{2\sqrt x - \sqrt x - \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\P = \left( {\frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 1} }}{{x - x + 1}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{x - 3}}} \right).\frac{{ - \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\P = \left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} - \sqrt 2 } \right).\frac{{ - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt 2 } \right).\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Ta có: \(x = 3 + 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 2 + 1} \right| = \sqrt 2 + 1\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 2 + 1 > 0} \right)\)

Thay \(\sqrt x = \sqrt 2 + 1\) vào biểu thức \(P = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\), ta có: \(P = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = - \sqrt 2 + 1\).

Vậy khi \(x = 3 + 2\sqrt 2 \) thì \(P = - \sqrt 2 + 1\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link