Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = {x^2}\) và

Câu hỏi số 284233:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = 5x - m + 2\) (m là tham số).

1) Điểm \(A\left( {2;\;4} \right)\) có thuộc đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) không? Tại sao?

2) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có tung độ \({y_1},\;\;{y_2}\) thỏa mãn \({y_1} + {y_2} + {y_1}{y_2} = 25.\)

A. \(\begin{array}{l}1)\,\,A\left( {2;\,4} \right) \in \left( P \right)\\2)\,\,\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}1)\,\,A\left( {2;\,4} \right) \notin \left( P \right)\\2)\,\,\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 4\end{array} \right.\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}1)\,\,A\left( {2;\,4} \right) \in \left( P \right)\\2)\,\,\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 4\end{array} \right.\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}1)\,\,A\left( {2;\,4} \right) \notin \left( P \right)\\2)\,\,\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:284233

Phương pháp giải

1) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình của parabol \(\left( P \right).\) Nếu thỏa mãn phương trình thì điểm \(A \in \left( P \right)\) và ngược lại.

2) Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

+) Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\)

Giải chi tiết

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = 5x - m + 2\) (m là tham số).

1) Điểm \(A\left( {2;\;4} \right)\) có thuộc đồ thị hàm số \(\left( P \right)\) không? Tại sao?

Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình của parabol \(\left( P \right)\) ta được: \(4 = {2^2}\) (luôn đúng).

Vậy điểm \(A\left( {2;\;4} \right)\) là một điểm thuộc parabol \(\left( P \right).\)

2) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có tung độ \({y_1},\;\;{y_2}\) thỏa mãn \({y_1} + {y_2} + {y_1}{y_2} = 25.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right)\) là:

\({x^2} = 5x - m + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + m - 2 = 0\;\;\;\left( * \right).\)

Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {5^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 25 - 4m + 8 > 0\\ \Leftrightarrow 4m < 33\\ \Leftrightarrow m < \frac{{33}}{4}.\end{array}\)

Với \(m < \frac{{33}}{4}\) thì đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\;\;{y_1}} \right)\) và \(B\left( {{x_1};\;{y_2}} \right).\)

Vì \(A,\;\;B \in \left( d \right) \Rightarrow A\left( {{x_1};\;5{x_1} - m + 2} \right),\;\;B\left( {{x_2};\;5{x_2} - m + 2} \right).\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \({y_1} + {y_2} + {y_1}{y_2} = 25\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{x_1} - m + 2 + 5{x_2} - m + 2 + \left( {5{x_1} - m + 2} \right)\left( {5{x_2} - m + 2} \right) = 25\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m + 4 + 25{x_1}{x_2} + 5{x_1}\left( { - m + 2} \right) + 5{x_2}\left( { - m + 2} \right) + {\left( { - m + 2} \right)^2} = 25\\ \Leftrightarrow 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 25{x_1}{x_2} + \left( {10 - 5m} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m + 4 + {m^2} - 4m + 4 = 25\\ \Leftrightarrow 25{x_1}{x_2} + \left( {15 - 5m} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} - 6m - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 25\left( {m - 2} \right) + \left( {15 - 5m} \right).5 + {m^2} - 6m - 17 = 0\\ \Leftrightarrow 25m - 50 + 75 - 25m + {m^2} - 6m - 17 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\m - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\;\;\left( {tm} \right)\\m = 4\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 2\) và \(m = 4\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link