Phương trình \((\sin x + \cos x) + \sqrt 3 (\sin x - \cos x) = 2\) có mấy nghiệm thuộc \(\left[ {0;10\pi }

Câu hỏi số 285054:

Vận dụng

Phương trình \((\sin x + \cos x) + \sqrt 3 (\sin x - \cos x) = 2\) có mấy nghiệm thuộc \(\left[ {0;10\pi } \right]\)?

A. 12

B. 10

C. 9

D. 11

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285054

Phương pháp giải

- Giải phương trình và tìm số nguyên k trong công thức nghiệm thõa mãn.

- Sử dụng công thức: \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right);\;\;\sin x - \cos x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;(\sin x + \cos x) + \sqrt 3 (\sin x - \cos x) = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 6 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \frac{\pi }{3} - \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{{12}} = \pi - \frac{\pi }{4} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + m2\pi \end{array} \right.\,,\;\;k,\;m \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Ta có:

\(\left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{3} + k2\pi \le 10\pi \Rightarrow k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;4} \right\}\\0 \le \frac{{5\pi }}{6} + m2\pi \le 10\pi \Rightarrow m \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;4} \right\}\,\,\end{array} \right..\)

Vậy có 10 nghiệm thõa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.