1. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất 4m. Cùng thời điểm đó, một tòa nhà cao tầng có

Câu hỏi số 285888:

Vận dụng

1. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất 4m. Cùng thời điểm đó, một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 60m. Hãy cho biết tòa nhà đó cao bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3m. (Hình vẽ minh họa)

2. Cho \(\Delta ABC\,\,(AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có BC là đường kính, vẽ đường cao AH của \(\Delta ABC\). \((H \in BC)\)

a) Biết \(AB = 6cm,\,\,AC = 8cm\). Tính độ dài AH và HB.

b) Tiếp tuyến tại A của \(\left( O \right)\) cắt các tiếp tuyến tại B và C lần lượt tại M và N. Chứng minh \(MN = MB + NC\) và \(\angle MON = {90^o}\).

c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(AB = AE\), gọi I là trung điểm của BE. Chứng minh 3 điểm M, I, O thẳng hàng.

d) Chứng minh HI là tia phân giác của \(\angle AHC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285888

Phương pháp giải

1. Dựa vào hệ thức lượng giác tan để tìm chiều cao tòa nhà, từ đó suy ra số tầng.

2. a) Áp dụng định lý Py-ta-go và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chứng minh.

c) Chứng minh M, I, O cùng thuộc đường trung trực của AB

d) Dựa vào tính chất hình chữ nhật, chứng minh các cặp tam giác tương ứng bằng nhau để chứng minh yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết

Gọi h là chiều cao tòa nhà cần tìm, \(\alpha \)là góc tia nắng mặt trời tạo với mặt đáy lúc ấy.

Khi đó ta có: \(\tan \alpha = \frac{7}{4} = \frac{h}{{60}} \Rightarrow h = 105\,\,(m)\)

Vậy tòa nhà có \(105:3 = 35\) (tầng)

2. Cho \(\Delta ABC\,\,(AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có BC là đường kính, vẽ đường cao AH của \(\Delta ABC\). \((H \in BC)\)

a) Biết \(AB = 6cm,\,\,AC = 8cm\). Tính độ dài AH và HB.

\(\Delta ABC\,\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) có BC là đường kính

\( \Rightarrow \angle BAC = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A

Áp dụng định lý Py-ta-go vào \(\Delta ABC\) vuông tại A ta được:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = \sqrt {100} = 10\,\,(cm)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A,

đường cao AH ta được:

\(A{B^2} = HB.BC \Rightarrow HB = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\,\,(cm)\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào \(\Delta ABH\) vuông tại H ta được:

\(AH = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {{6^2} - 3,{6^2}} = \sqrt {23,04} = 4,8\,\,(cm)\)

b) Tiếp tuyến tại A của \(\left( O \right)\) cắt các tiếp tuyến tại B và C lần lượt tại M và N. Chứng minh \(MN = MB + NC\) và \(\angle MON = {90^o}\)

Ta có MA, MB là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại M

\( \Rightarrow \) \(MA = MB\) và OM là phân giác của \(\angle AOB\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có NA, NC là hai tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại N

\( \Rightarrow \) \(NA = NC\) và ON là phân giác của \(\angle AOC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà \(MN = MA + NA\,\,\,(A \in MN)\) nên \(MN = MB + NC\;\;\left( {dpcm} \right)\)

OM, ON lần lượt là phân giác \(\angle AOB\) và \(\angle AOC\) (cmt)

Mà \(\angle AOB\) và \(\angle AOC\) là 2 góc kề bù nên \(\angle MON = {90^o}.\)

c) Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho \(AB = AE\), gọi I là trung điểm của BE. Chứng minh 3 điểm M, I, O thẳng hàng.

Có I là trung điểm của BE \( \Rightarrow \) AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác \(\Delta ABE\) vuông tại A

\( \Rightarrow \) \(IA = IB = IE = \frac{1}{2}BE\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Ta có \(MA = MB\) (cmt) \( \Rightarrow \) M thuộc đường trung trực của AB (1)

\(OA = OB\,\,( = R)\) \( \Rightarrow \) O thuộc đường trung trực của AB (2)

\(IA = IB\) (cmt) \( \Rightarrow \) I thuộc đường trung trực của AB (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \) 3 điểm M, I, O thẳng hàng.

d) Chứng minh HI là tia phân giác của \(\angle AHC\)

Từ E kẻ \(EP \bot BC\) tại P và \(EQ \bot AH\) tại Q.

\( \Rightarrow HPEQ\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \) \(QE = HP\)

Ta có \(\angle ABC + \angle ACB = {90^o}\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

\(\angle HAC + \angle ACB = {90^o}\) (\(\Delta AHC\) vuông tại H)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle HAC\) hay \(\angle ABH = \angle QAE\)

Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta AQE\) có: \(\angle BHA = \angle AQE\,\,( = {90^o})\); \(\angle ABH = \angle QAE\) (cmt); \(AB = AE\) (gt)

\( \Rightarrow \Delta BHA = \Delta AQE\) (ch-gn) \( \Rightarrow AH = QE = HP\)

Ta có \(\Delta BPE\) vuông tại P, I là trung điểm của BE

\( \Rightarrow \) \(PI = \frac{1}{2}BE\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Mà \(AI = \frac{1}{2}BE\) (cmt) \( \Rightarrow AI = PI\)

Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta PHI\) có: HI chung; \(AI = PI\) (cmt); \(AH = HP\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AHI = \Delta PHI\) (c-c-c) \( \Rightarrow \angle AHI = \angle PHI\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow \) HI là tia phân giác của \(\angle AHC\;\;\left( {dpcm} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link