Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\) có các nghiệm là:

Câu hỏi số 285906:

Thông hiểu

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \\x = k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \\x = \left( {2k + 1} \right)\pi \end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:285906

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

- Biến đổi: \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x.\cos x + {{\cos }^2}x} \right) = \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x.cosx} \right)\)

- Đưa phương trình về phương trình bậc 3 ẩn t

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\) (Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 1 - \sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x.\cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \frac{{{t^2} - 1}}{2}} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)\end{array}\)

Nghiệm: \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.