Giả sử \(p = \overline {abc} \) là 1 số nguyên tố có 3 chữ số. Chứng minh rằng phương trình

Câu hỏi số 287209:

Vận dụng cao

Giả sử \(p = \overline {abc} \) là 1 số nguyên tố có 3 chữ số. Chứng minh rằng phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) không có nghiệm hữu tỷ

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:287209

Phương pháp giải

Chứng minh bằng phản chứng.

Giải chi tiết

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm \({x_{1;2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\,\,\,\left( {\Delta = {b^2} - 4ac} \right)\).

Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ thì \(\Delta \) là số chính phương.

Đặt \(\Delta = {m^2} = {b^2} - 4ac \Rightarrow 4ac = {b^2} - {m^2} > 0 \Rightarrow b > m\,\,\left( {m \in Z} \right)\).

Xét tích

\(\begin{array}{l}4a.\overline {abc} = 4a\left( {100a + 10b + c} \right) = 400{a^2} + 40ab + 4ac\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 400{a^2} + 40ab + {b^2} - {m^2} = {\left( {20a + b} \right)^2} - {m^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {20a + b - m} \right)\left( {20a + b + m} \right)\end{array}\)

Mà \(p = \overline {abc} \) là 1 số nguyên tố \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}20a + b - m \vdots \overline {abc} \\20a + b + m \vdots \overline {abc} \end{array} \right.\)

Mặt khác

\(\begin{array}{l}20a + b - m < 20a + b + m < 20a + b + b(m < b)\\ \Rightarrow 20a + b - m < 20a + b + m < 20a + b < 100a + 10b + c = \overline {abc} \\ \Rightarrow 20a + b - m < 20a + b + m < \overline {abc} \end{array}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}20a + b - m \vdots \overline {abc} \\20a + b + m \vdots \overline {abc} \end{array} \right.\) vô lý

Vậy \(\Delta \) không phải là số chính phương hay phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỷ (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link