Giả sử \(p = \overline {abc} \) là 1 số nguyên tố có 3 chữ số. Chứng minh rằng phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) không có nghiệm hữu tỷ
Câu 287209: Giả sử \(p = \overline {abc} \) là 1 số nguyên tố có 3 chữ số. Chứng minh rằng phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) không có nghiệm hữu tỷ
Chứng minh bằng phản chứng.
-
Giải chi tiết:
Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm \({x_{1;2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\,\,\,\left( {\Delta = {b^2} - 4ac} \right)\).
Giả sử phương trình có nghiệm hữu tỉ thì \(\Delta \) là số chính phương.
Đặt \(\Delta = {m^2} = {b^2} - 4ac \Rightarrow 4ac = {b^2} - {m^2} > 0 \Rightarrow b > m\,\,\left( {m \in Z} \right)\).
Xét tích
\(\begin{array}{l}4a.\overline {abc} = 4a\left( {100a + 10b + c} \right) = 400{a^2} + 40ab + 4ac\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 400{a^2} + 40ab + {b^2} - {m^2} = {\left( {20a + b} \right)^2} - {m^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {20a + b - m} \right)\left( {20a + b + m} \right)\end{array}\)
Mà \(p = \overline {abc} \) là 1 số nguyên tố \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}20a + b - m \vdots \overline {abc} \\20a + b + m \vdots \overline {abc} \end{array} \right.\)
Mặt khác
\(\begin{array}{l}20a + b - m < 20a + b + m < 20a + b + b(m < b)\\ \Rightarrow 20a + b - m < 20a + b + m < 20a + b < 100a + 10b + c = \overline {abc} \\ \Rightarrow 20a + b - m < 20a + b + m < \overline {abc} \end{array}\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}20a + b - m \vdots \overline {abc} \\20a + b + m \vdots \overline {abc} \end{array} \right.\) vô lý
Vậy \(\Delta \) không phải là số chính phương hay phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỷ (đpcm).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
