Cho phương trình : \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 3 nghiệm dương

Câu hỏi số 287210:

Vận dụng cao

Cho phương trình : \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 3 nghiệm dương \({x_1};{x_2};{x_3}\). Chứng minh rằng \(x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge \frac{{ - {b^3}{c^2}}}{{81{a^5}}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:287210

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Bunhiacopxi cho 3 số.

Giải chi tiết

Phương trình : \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 3 nghiệm dương \({x_1};{x_2};{x_3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - \left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right){x^2} + \left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_3}{x_2}} \right)x - {x_1}{x_2}{x_3} = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mà \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\,\,\left( {a \ne 0} \right) \Leftrightarrow {x^3} + \frac{b}{a}{x^2} + \frac{c}{a}x + \frac{d}{a} = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_3}{x_2} = \frac{c}{a}\\{x_1}{x_2}{x_3} = \frac{{ - d}}{a}\end{array} \right.\)

Bài toán \(x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge \frac{{ - {b^3}{c^2}}}{{81{a^5}}}\) trở thành

Chưng minh: \(x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge \frac{1}{{81}}{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)^3}{\left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_3}{x_2}} \right)^2}\,\,\,\left( * \right)\)

Thật vậy ta có : với \({x_1};{x_2};{x_3}\) là các số dương. Áp dụng BĐT Cô-si 2 số ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 \ge 2{x_1}{x_2}\\x_3^2 + x_2^2 \ge 2{x_3}{x_2}\\x_1^2 + x_3^2 \ge 2{x_1}{x_3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} \right) \ge \left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_3}{x_2}} \right)\\ \Rightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} \right) + 2\left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_3}{x_2}} \right) \ge 3\left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_3}{x_2}} \right)\\ \Rightarrow {\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)^2} \ge 3\left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_3}{x_2}} \right)\end{array}\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge \frac{1}{{729}}{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)^7}\)(**)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x_1^7 + x_2^7 + x_3^7} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) \ge \frac{1}{{81}}{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)^3}{\left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_3}{x_2}} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {x_1^7 + x_2^7 + x_3^7} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) \ge {\left( {x_1^4 + x_2^4 + x_3^4} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {x_1^4 + x_2^4 + x_3^4} \right)\left( {1 + 1 + 1} \right) \ge {\left( {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {x_1^4 + x_2^4 + x_3^4} \right)^2} \ge \frac{{{{\left( {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} \right)}^4}}}{9}\\\,\,\,\,\,\,\left( {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} \right) \ge \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)}^2}}}{3}\\ \Rightarrow {\left( {x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} \right)^4} \ge \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)}^4}}}{{81.9}}\\ \Rightarrow \left( {x_1^7 + x_2^7 + x_3^7} \right)\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) \ge \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)}^4}}}{{729}}\\ \Rightarrow \left( {x_1^7 + x_2^7 + x_3^7} \right) \ge \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)}^3}}}{{729}}\end{array}\)

Suy ra (**) đúng

Suy ra \( \Leftrightarrow x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge \frac{1}{{81}}{\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right)^3}{\left( {{x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + {x_3}{x_2}} \right)^2}\)

Hay \(x_1^7 + x_2^7 + x_3^7 \ge \frac{{ - {b^3}.{c^2}}}{{81{a^5}}}\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link