Giả sử \({x_1};{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \({x^2} - px + 1 = 0\)với p là số nguyên lẻ.

Câu hỏi số 287208:

Vận dụng cao

Giả sử \({x_1};{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \({x^2} - px + 1 = 0\)với p là số nguyên lẻ. Chứng minh rằng: Với số tự nhiên \(n > 0\) tùy ý, các số \({S_n} = {x_1}^n + {x_2}^n\)và \({S_{n + 1}} = {x_1}^{n + 1} + {x_2}^{n + 1}\)là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:287208

Phương pháp giải

Dùng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

+) Chứng minh nguyên

Khi \(n = 1\) ta có: \({S_1} = {x_1} + {x_2} = p\) là số nguyên

Khi \(n = 2\) ta có: \({S_2} = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {p^2} - 2\) là số nguyên

Giả sử với \(k \ge 2\) có \({S_{k - 1}} = {x_1}^{k - 1} + {x_2}^{k - 1}\)và \({S_k} = {x_1}^k + {x_2}^k\)

Ta chứng minh \({S_{k + 1}} = {x_1}^{k + 1} + {x_2}^{k + 1}\) cũng là số nguyên.

Thật vậy ta có :

\(\begin{array}{l}\left( {{x_1}^k + {x_2}^k} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {x_1}^{k + 1} + {x_2}^{k + 1} + {x_1}{x_2}\left( {{x_1}^{k - 1} + {x_2}^{k - 1}} \right)\\ \Rightarrow {S_k}.p = {S_{k + 1}} + {S_{k - 1}} \Rightarrow {S_{k + 1}} = {S_k}.p - {S_{k - 1}}\end{array}\)

Mà \({S_{k - 1}}\) và \({S_k}\)là các số nguyên \( \Rightarrow {S_{k + 1}} = {x_1}^{k + 1} + {x_2}^{k + 1}\) là số nguyên.

Vậy \({S_n} = {x_1}^n + {x_2}^n\)là số nguyên với n nguyên dương.

+) Chứng minh nguyên tố cùng nhau :

Gọi A là ước chung lớn nhất của \({S_n} = x_1^n + x_2^n\) và \({S_{n + 1}} = x_1^{n + 1} + x_2^{n + 1}\)

Mà \({S_k}.p = {S_{k + 1}} + {S_{k - 1}} \Rightarrow A.f\left( x \right).p = A.g\left( x \right) + {S_{k - 1}}\)

Suy ra A là ước của \({S_{k - 1}} \to A\) là ước chung lớn nhất của \({S_k};{S_{k - 1}}\)

Tương tự ta có A là ước chung lớn nhất của \({S_1};{S_2}\)

Mà \({S_1} = p\)\( \Rightarrow \)p chia hết cho A

Ta có \({S_2} = {p^2} - 2\)\( \Rightarrow \)\({p^2} \vdots p \Rightarrow - 2 \vdots A \Rightarrow A = \left\{ {1;2} \right\}\)

Mặt khác p lẻ suy ra A=1

Vậy UCLN=1 hay \({S_n} = {x_1}^n + {x_2}^n\)và \({S_{n + 1}} = {x_1}^{n + 1} + {x_2}^{n + 1}\)nguyên tố cùng nhau (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link