Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay

Câu hỏi số 287986:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay đổi luôn đi qua AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N (M khác S, C và N khác S, D).

a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABCD).

b) Chứng minh giao điểm I của AM và BN thuộc một đường thẳng cố định.

c) Gọi K là giao điểm của AN và BM. Chứng minh \(\frac{{AB}}{{MN}} - \frac{{BC}}{{SK}} = 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:287986

Phương pháp giải

a) Hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với 2 đường thẳng đó.

b) Chứng minh I thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBD).

c) Chứng minh SK // AD // BC. Sử dụng định lí Ta-lét.

Giải chi tiết

a) Ta có: AB // CD, \(CD \subset \left( {SCD} \right);\,\,AB \not\subset \left( {SCD} \right)\) nên \(AB//\left( {SCD} \right)\).

Do \(AB \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN//AB\).

Mặt khác \(AB \subset \left( {ABCD} \right)\) cùng giả thiết M khác S, C và N khác S, D \( \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right)\).

b) Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(I = AM \cap BN\) nên ta có

+) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AM\\AM \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\)

+) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BN\\BN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\)

Suy ra I thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC); (SBD).

Mà \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO \Rightarrow I \in SO\) cố định.

c) Gọi \(K = AN \cap BM\).

Xét \(\Delta AKB\) có AB // MN \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{KB}}{{KM}} = \frac{{KM + BM}}{{KM}} = 1 + \frac{{BM}}{{KM}}\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC//AD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Sx//AD//BC\)

Mà \(K = AN \cap BM;\,\,AN \subset \left( {SAD} \right);\,\,BM \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow K \in Sx \Rightarrow SK//BC\).

Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta SKM \sim \Delta CBM \Rightarrow \frac{{BC}}{{SK}} = \frac{{BM}}{{KM}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = 1 + \frac{{BC}}{{SK}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{MN}} - \frac{{BC}}{{SK}} = 1\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.