Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay

Câu hỏi số 287986:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay đổi luôn đi qua AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N (M khác S, C và N khác S, D).

a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABCD).

b) Chứng minh giao điểm I của AM và BN thuộc một đường thẳng cố định.

c) Gọi K là giao điểm của AN và BM. Chứng minh \(\frac{{AB}}{{MN}} - \frac{{BC}}{{SK}} = 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:287986

Phương pháp giải

a) Hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với 2 đường thẳng đó.

b) Chứng minh I thuộc giao tuyến của (SAC) và (SBD).

c) Chứng minh SK // AD // BC. Sử dụng định lí Ta-lét.

Giải chi tiết

a) Ta có: AB // CD, \(CD \subset \left( {SCD} \right);\,\,AB \not\subset \left( {SCD} \right)\) nên \(AB//\left( {SCD} \right)\).

Do \(AB \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN//AB\).

Mặt khác \(AB \subset \left( {ABCD} \right)\) cùng giả thiết M khác S, C và N khác S, D \( \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right)\).

b) Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(I = AM \cap BN\) nên ta có

+) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AM\\AM \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\)

+) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BN\\BN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\)

Suy ra I thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC); (SBD).

Mà \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO \Rightarrow I \in SO\) cố định.

c) Gọi \(K = AN \cap BM\).

Xét \(\Delta AKB\) có AB // MN \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{KB}}{{KM}} = \frac{{KM + BM}}{{KM}} = 1 + \frac{{BM}}{{KM}}\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC//AD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Sx//AD//BC\)

Mà \(K = AN \cap BM;\,\,AN \subset \left( {SAD} \right);\,\,BM \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow K \in Sx \Rightarrow SK//BC\).

Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta SKM \sim \Delta CBM \Rightarrow \frac{{BC}}{{SK}} = \frac{{BM}}{{KM}}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = 1 + \frac{{BC}}{{SK}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{MN}} - \frac{{BC}}{{SK}} = 1\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.